「荒原之梦考研数学」文章

一、题目

微分方程 $y \mathrm {~d} x + \left( x^{2} – 3x \right) \mathrm{~d} y = 0$ 的通解为？

难度评级：

一、前言

已知微分方程中 $y$ 是 $x$ 的函数，即 $y = y(x)$, 那么，为什么对微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y}$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 左右两边同时进行的积分对应的式子是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

而不是：

$$
\textcolor{yellow}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} x = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也会从底层原理的角度，给同学们讲清楚为什么式子 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 和 $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 是相等的。

一、题目

若 $y=y(x)$ 为二阶常系数微分方程 $\frac{1}{2} y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y$ $=$ $\mathrm{e}^{16x}$, 且满足初始条件 $y(0)$ $=$ $y^{\prime} (0)$ $=$ $0$ 的特解，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)} = ?
$$

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲解，在二阶常系数微分方程 $y ^{\prime \prime} + p y ^{\prime} + qy$ $=$ $f(x)$ 中，解的二阶导函数 $y ^{\prime \prime}$ 的连续性如何判断的问题。

其中，$p$ 和 $q$ 为常数，$f(x)$ 为微分方程的右端项。

一、前言

假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可能是连续函数，也可能含有可去间断点，或者跳跃间断点，或者无穷间断点，或者震荡间断点，那么，如何判断函数 $f(x) \pm g(x)$ 的连续性？

Tip

阅读本文前，首先需要对函数的间断点有一个整体的认识，相关内容可以查阅《函数间断点的分类与图象示例》这篇文章。

zhaokaifeng.com

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过直观形象的图示，为同学讲解清楚函数的间断点。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论，有关该结论的另一种证明方式，可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。

一、前言

所谓“可导必连续”说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的导数 $f ^{\prime} (x_{0})$ 存在，那么，函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处一定是连续的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过导数的定义证明上面的结论。

一、前言

积分运算具有使被积函数变得更加平滑的能力，但是，很多参考资料并没有从本质上解释清楚为什么积分具有“平滑”的作用，只是单纯的抛出了这一个结论。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从本质上阐述清楚积分为什么具有平滑的能力。

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$.

(Ⅰ) 求 $f(x)$ 的最小值;

(Ⅱ) 设数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$, 请证明 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在, 并求该极限值.

难度评级：

一、题目

已知，数列 ${ x_{n} }$ 满足: $x_{1} > 0$, $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$.

请证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛，并求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$.

难度评级：

一、前言

等价无穷小公式是考研数学中一个非常常用的工具。

但是，这些等价无穷小公式都是怎么来的呢？

如果说 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 就意味着 $\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)$ 是等价无穷小，但是，为什么式子 $\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)}{\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)}$ 就等于 $1$ 呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“一点处的斜率”这一概念，为同学讲清楚等价无穷小公式的来龙去脉。当然，同学们也可以借助本文中使用的方法，来推导和记忆等价无穷小公式。

一、题目

已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y ^{\prime} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ 的唯一解，则函数 $\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的显式表达式为 $\underline{\quad \quad \quad}$.

难度评级：