「荒原之梦考研数学」文章 – 第 36 页

积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{e ^{x+3} + e ^{5-x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

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每日箴言：内在会影响外在，外在也会影响内在

长期以来，我们不少人都情愿或不情愿，或多又或少的接受和传达着这样一种观点，那就是，外在的外貌不重要，内在的心灵才重要。其实，仔细观察我们身边的人，大家不难发现，一个人的为人处世，一个人的精神风貌，学习和工作态度，很多时候确实与“外在”有千丝万缕的关系。

当然，注重外在不意味着必须穿昂贵的衣服，不意味着必须有天使般的容颜，而是要尽可能管理好自己的身体和衣着——穿干净整洁的衣服，保持一定量的体育锻炼，走路姿态自信昂扬，谈吐方寸合适等，都是我们的“外在”，良好的外在也有利于形成和保持良好的内心。

我们不能“以貌取人”，但“貌”也是“人”的一部分，我们需要注重“貌”的建设。

2024 年 07 月 15 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：图为红花铁线莲（Clematis texensis）“戴安娜王妃”附带羽毛种子的种球。由71张相片叠焦而成。
作者：Agnes Monkelbaan
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 18 日 08 时 38 分
相机坐标：东经 5° 47′ 04.2″, 北纬 52° 58′ 02.82″
来源：wikimedia.org

范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$$
D _{ n } = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x _{ 1 } & x _{ 2 } & x _{ 3 } & \cdots & x _{ n } \\
x _{ 1 } ^ { 2 } & x _{ 2 } ^ { 2 } & x _{ 3 } ^ { 2 } & \cdots & x _{ n } ^ { 2 } \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x _{ 1 } ^ { n – 1 } & x _{ 2 } ^ { n – 1 } & x _{ 3 } ^ { n – 1 } & \cdots & x _{ n } ^ { n – 1 }
\end{vmatrix}
$$

上面这个行列式的计算结果为：

$$
D _{ n } = \prod _{ 1 \leqslant j < i \leqslant n } \left( x _{ i } – x _{ j } \right)
$$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

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矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵

一、题目

已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶方阵，且：

$$
\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}
$$

则：

$$
\boldsymbol{B} \left[ \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + 2 \boldsymbol{B} ^{\top} \boldsymbol{A} ^{\top} \right) ^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{A} = ?
$$

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每日箴言：我们没有进化成超人，但好在我们可以站在巨人的肩膀上

我们今天的智商，也许并没有比古人高多少，但我们之所以能够享受今天的生活，很大程度上都是来自先人前辈们的努力——我们今天所拥有的一切都是为了让我们更好的去奋斗。

2024 年 07 月 14 日

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描述：图为正在巢上喂食雄生幼鶵的雌性褐鲣鸟（Sula leucogaster plotus），摄于澳大利亚昆士兰州大堡礁的麦克拉斯沙岛。
作者：Charles J. Sharp
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 11 月 06 日 12 时 33 分
相机坐标：东经 145° 58′ 12″, 南纬 16° 36′ 00″
来源：wikimedia.org

这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?

一、题目

若 $f(x)$ $+$ $\sin ^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} f(3x) \mathrm{~d} x$, 则：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~d} x = ?
$$

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每日箴言：凝视你的目标，其他的都不重要

保持专注是一项强大的能力，这种能力是我们其他能力得以释放的动力。所以，保持专注，紧盯你的目标，与实现目标无关的事情都可以在未来一段时间内忽略。

2024 年 07 月 13 日

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描述：图为在树上歇息的野生幼豹（Panthera pardus），摄于坦桑尼亚的塞伦盖提国家公园。
作者：Giles Laurent
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2020 年 07 月 10 日 12 时 13 分
相机坐标：东经 34° 50′ 59.07″, 南纬 2° 25′ 26.94″
来源：wikimedia.org

2022考研数二第04题解析：二元偏导数、变上限积分求导

一、题目

设函数 $f(t)$ 连续，令 $F(x, y)$ $=$ $\int_{0}^ {x-y}(x-y-t) f(t)\mathrm {~d} t$, 则（）

A. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $\frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$

B. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $\frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $- \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$

C. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $- \frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$

D. $\frac { \partial F } { \partial x }$ $=$ $- \frac { \partial F } { \partial y }$, $\frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x ^ { 2 } }$ $=$ $- \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } }$

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每日箴言：每一座堡垒都需要通过烽火的洗礼才能愈发坚固

强健身体，需要反复的锻炼，强健学识，需要刻苦的学习，一个人强健的世界，需要不断的历练、捶打，进而才能厚实、坚固。

2024 年 07 月 12 日

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描述：图为瑞典斯德哥尔摩地铁国王大街花园站的月台。
作者：Arild Vågen
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2014 年 05 月 23 日 12 时 47 分
物体坐标：东经 18° 04′ 24.13″, 北纬 59° 19′ 50.93″
来源：wikimedia.org

2022考研数二第03题解析：邻域内函数单调性与凹凸性的判断

一、题目

设函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处有 $2$ 阶导数，则：

[A]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时，$f^{\prime} \left( x _{ 0 } \right)$ $>$ $0$

[B]. 当 $f^{\prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$ 时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加

[C]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时，$f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$

[D]. 当 $f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$, $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数

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每日箴言：哪有轻轻松松的天空海阔，只有驰骋沙场的开疆拓土

强健体魄，打磨利剑，武装意志，这是我们奋斗的基础和拼搏奋斗的基石。

2024 年 07 月 11 日

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描述：图为瑞典北雪平的住宅大厦“卡查”。建于 2015 年。
作者：ArildV
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2017 年 02 月 11 日 17 时 24 分
物体坐标：东经 16° 10′ 45.05″, 北纬 58° 35′ 20.32″
来源：wikimedia.org

矩阵起源于方程组，因此也可以借助方程组的思想解题

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{K}$ $=$ $\boldsymbol{A K}$ $+$ $\boldsymbol{B}$, 且：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
– 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & – 1 \\
2 & 0 \\
3 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

则 $\boldsymbol{K}$ $=$ $?$

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每日箴言：是水影射了天空，还是天空本就在水中？

也许大部分同学都听说过猴子水中捞月亮的故事，科学的常识也告诉我们，月亮不在水中。但是，既然我们能在水中看到月亮，为什么能说水中真的没有月亮呢？所以，人生的境遇，或者我们眼中的世界，往往与我们处事为人的价值标准有关，多一些豁达，多一些谅解，也就能多一些自在，多一些满足。

2024 年 07 月 10 日

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描述：图为土耳其七湖国家公园七湖谷的大湖。
作者：A.Savin
授权协议：非营利著作权：本艺术作品是自由的，您可以依据自由艺术作品许可协议（Free Art License）的条款传播和/或修改本艺术作品。
拍摄时间（当地时间）：2021 年 10 月 25 日 14 时 55 分
相机坐标：东经 31° 44′ 42.07″, 北纬 40° 56′ 32″
来源：wikimedia.org

如何确定行列式展开式中有效项的个数？

一、题目

$$
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a & 0 & b & 0 \\
0 & c & 0 & d \\
e & 0 & f & 0 \\
0 & g & 0 & h
\end{vmatrix} = ?
$$

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每日箴言：首先成为自己，然后再创造未来

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Timothy A. Gonsalves

人是社会的人，我们获得或者期望获得的社会评价与社会关系，对于我们十分重要。但是，人也是“自己的人”，我们做人做事的基础在于，我们首先要成为自己——接纳自己、塑造自己、追寻自己。

2024 年 07 月 08 日

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描述：图为正在过马路的幼年雄性非洲草原象（Loxodonta africana），摄于赞比亚的卡富埃国家公园。大象高举的长鼻被认为是在评估园区内的车辆。
作者：Timothy A. Gonsalves
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 07 日 07 时 19 分
相机坐标：东经 25° 59′ 30″, 南纬 15° 00′ 58″
来源：wikimedia.org