「荒原之梦考研数学」文章 - 第251页共273页

2008 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

一、题目

设函数在 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内单调有界， $x_{n}$ 为数列，下列命题正确的是 ( )

( A ) 若 $x_{n}$ 收敛，则 $f (x_{n})$ 收敛.

( B ) 若 $x_{n}$ 单调，则 $f (x_{n})$ 收敛.

( C ) 若 $f (x_{n})$ 收敛，则 $x_{n}$ 收敛.

( D ) 若 $f (x_{n})$ 单调，则 $x_{n}$ 收敛.

二、解析

解答本题之前，我们需要清楚“极限”，“收敛”和“有界”三者之间的区别与联系。

当我们说“极限”时，我们通常说的是“函数极限”，当我们说“收敛”时，我们通常说的是“数列收敛”。说“数列收敛”就是说该数列存在极限。我们可以认为，“收敛”是用于描述离散数据的，“极限”是用于描述连续数据的。当我们在计算或者证明数列极限的时候，我们其实是将数列看作了“连续数据”来对待。

如果一个数列收敛，那么这个数列必然有界，但是如果一个数列有界却不一定收敛，例如下面这个数列有界，但不收敛：

${1, - 1, 1, - 1, 1, - 1}$ .

对于函数也一样，例如 $y$ $=$ $\sin x$ 是一个有界函数，但不收敛。

只有单调并且有界的数列才一定收敛（也意味着该数列一定有极限），这就是数列极限的“单调有界原理”。

注：当“单调有界原理”用在数列上时可以证明数列有界；当单调有界原理用在函数上时只能证明函数有确界，即有上确界或者下确界。

此外，本题还涉及复合函数，因此还必须清楚复合函数的几个性质：

复合函数的单调性

单调性包含单调递增和单调递减。对于复合函数而言，如果外函数和内函数都是单调函数，则在定义域内，它们的复合函数也是单调函数。至于是单调增还是单调减，可以用“同增异减”来判定。

“同增异减”的含义就是，如果外层函数是增函数，则复合函数的增减性与内函数的增减性一致；

如果外层函数为减函数，则复合函数的增减性与内函数的增减性相反。

“同增异减”也可以理解成，如果复合前两个函数都为增函数或者都为减函数，则复合函数为增函数；如果复合前两个函数一个为增函数，一个为减函数，则复合函数为减函数。

注：无论是单增还是单减，只要内函数和外函数都是单调函数，则复合函数也一定是单调函数。

复合函数的奇偶性

① 如果内函数为奇函数，则复合函数的奇偶性与外函数的奇偶性保持一致；

② 如果内函数为偶函数，则复合函数必为偶函数。

复合函数的周期性

① 若内函数为周期函数，则复合函数一定也是周期函数；

② 若外函数为周期函数，则复合函数不一定为周期函数。

复合函数的有界性

① 若内函数有界且外函数有界，则复合函数一定有界；

② 若内函数无界但外函数有界，则复合函数一定有界；

（上述两条总结一下就是，无论内函数是否有界，只要外函数有界，则复合函数一定有界。）

③ 若内函数有界但外函数无界或者内外函数都无界，这种情况下不能确定或者否定复合函数是有界还是无界，如果要确定或否定，还需要其他条件辅助分析。

有上面的阐述，我们可以发现，在判断复合函数的性质的时候，第一步要做的事情就是区分出内函数和外函数。本题在内外函数的区分上可能具有一定的迷惑性，我们不能认为在复合函数 “ $f (x_{n})$ ” 中，” $x_{n}$ ” 是外函数而 “ $f (x)$ ” 是内函数，这是错误的。符号 “ $$ ” 和 “ $$ ” 只是说明这是一个数列，而并不是一个运算符号，其意义是多个 “ $f (x_{n})$ ” 的值组成的数列，因此外函数是 “ $f (x)$ ”, 内函数是 “ $x_{n}$ .”

下面是针对每个选项的具体分析：

A 项：

$x_{n}$ 收敛 → $x_{n}$ 有界；

$f (x)$ 有界 + $x_{n}$ 有界 → $f (x_{n})$ 有界；

但是数列有界不能直接推出数列收敛，必须是单调且有界的数列才能推出收敛的结论。

A 项错误。

B 项：

$x_{n}$ 单调 + $f (x_{n})$ 单调 → $f (x_{n})$ 单调；

$f (x_{n})$ 有界 → $f (x_{n})$ 有界；

$f (x_{n})$ 单调有界 → $f (x_{n})$ 收敛。

B 项正确。

C 项：

由复合函数收敛不能确定其内函数是否也收敛。

C 项错误。

D 项：

$f (x_{n})$ 有界 → $f (x_{n})$ 有界；

$f (x_{n})$ 单调有界 → $f (x_{n})$ 收敛；

但是 $f (x_{n})$ 收敛推不出内函数 $x_{n}$ 也收敛，和 C 项原因一致。

D 项错误。

综上可知，正确选项是：B

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今日头条上线了其全网搜索引擎“头条搜索”

最近，今日头条上线了其全网搜索引擎“头条搜索”。

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2018 年研究生入学考试数学一选择题第 3 题解析

一、题目

$\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n}$ $\frac{2 n + 3}{(2 n + 1)!}$ $=$ __

( A ) $\sin$ $1$ $+$ $\cos 1$ .

( B ) $2$ $\sin 1$ $+$ $\cos 1$ .

( C ) $2$ $\sin 1$ $+$ $2$ $\cos 1$ .

( D ) $2$ $\sin 1$ $+$ $3$ $\cos 1$ .

二、解析

看到求和与阶乘，我们应该想到使用麦克劳林公式，因为麦克劳林公式中也包含求和运算与阶乘运算。因此，我们解答本题的入手点就是通过等价变形的方式把题目中的式子往常用的麦克劳林公式上凑。

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{2 n + 3}{(2 n + 1)!}$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{2 n + 1 + 2}{(2 n + 1)!}$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{2 n + 1}{(2 n + 1)!}$ $+$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{2}{(2 n + 1)!}$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{1}{(2 n)!}$ $+$ $2$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{1}{(2 n + 1)!}$ .

注意：上面式子中 “ $\sum$ ” 符号前面的 “ $2$ ” 特别容易在计算过程中丢掉，一定要记着带上！！！

我们知道在常用的五个函数的麦克劳林公式中，存在 “ $(2 n + 1)!$ ” 和 “ $(2 n)!$ ” 是下面两个公式：

$\sin x$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ , $x$ $\in R$ ;

$\cos x$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ , $x$ $\in$ $R$ .

当我们令 $x$ $=$ $1$ 时，就有：

$\sin x$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{1}{(2 n + 1)!}$

$\cos x$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{1}{(2 n)!}$

于是我们就有：

原式 $=$ $\cos 1$ $+$ $2$ $\sin 1$ $=$ $2$ $\sin 1$ $+$ $\cos 1$ .

综上可知，正确选项是：D

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技术杂志网站 Linux Journal 宣布关闭

当地时间 2019 年 08 月 07 日，Linux Journal 在官网宣布公司已经关闭，所有员工都被解雇，公司已经没有任何资金以支持其继续运作下去。Linux Journal 的网站应该将会在未来几周内继续运行。

IMPORTANT NOTICE FROM LINUX JOURNAL, LLC: On August 7, 2019, Linux Journal shut its doors for good. All staff were laid off and the company is left with no operating funds to continue in any capacity. The website will continue to stay up for the next few weeks, hopefully longer for archival purposes if we can make it happen.
Linux Journal, LLC

Linux Journal 网站首页（截取于 2019 年 08 月 09日）：

Linux Journal 是一份创刊于 1994 年的 Linux 杂志，至今已走过 25 年。一开始他们是发行纸质版杂志，后来改为发行电子版杂志。

在 Linux Journal 网站的底部，写有这样一段话：

Linux Journal, currently celebrating its 25th year of publication, is the original magazine of the global Open Source community.
www.linuxjournal.com

如图：

翻译成中文就是：

Linux Journal 目前正在庆祝其公开发行的第 25 个年头，这是一本在全球开源社区中开创先河的杂志。

让我们向这份 25 年的坚守与热爱致以深深的敬意！

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CentOS 8 构建工作已经接近尾声，最近几日或将发布

截至北京时间 2019 年 08 月 09 日晚间，CentOS 8 的构建进度表如下：

*Figure 1. from: wiki.centos.org/About/Building_8*

根据这个进度表，我们可以看到，目前只有 “QA work” 和 “RC work” 是处于正在进行中的状态，在此二者之前的项目都已经完成，只有最后一步的“发布”还没开始。由于表中给出的 “QA work” 和 “RC work” 的预计完成时间是 2019 年 08 月 07 日（大约两天前），因此，我们可以据此判断出，CentOS 8 或将于最近几天内公开发布。

猎鹰 9 火箭成功发射以色列卫星 AMOS-17

根据 SpaceX 公司官方 Twitter 账号 “@SpaceX” 的消息，猎鹰 9 火箭于当地时间 2019 年 08 月 06 日下午，成功将来自以色列的 AMOS-17 通讯卫星送入太空预定轨道。根据有关消息，该卫星提供的网络服务可以覆盖非洲大陆、欧洲和中东地区。该卫星的第一个版本 AMOS-6 曾在 2016 年的 SpaceX 发射任务中因爆炸被毁。

AMOS-17 被成功部署：

此次发射 AMOS-17 所用到的助推器已经是第三次飞行，同时也是 SpaceX 第 25 次发射轨道级火箭。

在位于美国佛罗里达州的 40 号发射台上等待发射指令的猎鹰 9 火箭：

发射进入 60 秒倒计时：

本次任务中的猎鹰 9 火箭发射瞬间：

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2013 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

已知极限 $lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^{k}} = c,$ 其中 $k, c$ 为常数，且 $c \neq 0,$ 则 ( )

$(A) k = 2, c = - \frac{1}{2} .$

$(B) k = 2, c = \frac{1}{2} .$

$(C) k = 3, c = - \frac{1}{3} .$

$(D) k = 3, c = \frac{1}{3} .$

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GitHub CEO Nat Friedman 回应限制伊朗等国用户账户事件

GitHub CEO Nat Friedman 于当地时间 07 月 27 日发布数条推文回应了 GitHub 限制部分被美国制裁的国家的用户使用 GitHub 一事。

以下是 Nat Friedman 的原推及参考译文。

原推 1：

It is painful for me to hear how trade restrictions have hurt people. We have gone to great lengths to do no more than what is required by the law, but of course people are still affected. GitHub is subject to US trade law, just like any company that does business in the US.

翻译 1：

当我听到贸易制裁伤害到了人们的时候，我感到很痛苦。我们竭尽全力使我们的行为符合法律的要求，但是确实有人仍然受到了伤害。就像许多在美国开展业务的公司一样，GitHub 必须服从美国法律。

原推 2：

To comply with US sanctions, we unfortunately had to implement new restrictions on private repos and paid accounts in Iran, Syria, and Crimea.

Public repos remain available to developers everywhere – open source repos are NOT affected.

翻译 2：

为了遵守美国的制裁，非常不幸的是，我们必须对伊朗，叙利亚和克里米亚地区的私有仓库和付过费的账户施加限制。

公开的仓库仍然对所有地区的开发者开放，开源项目的仓库不受影响。

原推 3：

The restrictions are based on place of residence and location, not on nationality or heritage. If someone was flagged in error, they can fill out a form to get the restrictions lifted on their account within hours.

More info is on our policy page: https://help.github.com/en/articles/github-and-trade-controls

翻译 3：

这些限制是基于居住地点的，而不是国籍。如果有人被错误地标记了，他们可以填写一个表格来在数小时之内解除这些限制。

更多的信息在我们的政策页面：https://help.github.com/en/articles/github-and-trade-controls

原推 4：

Users with restricted private repos can also choose to make them public. Our understanding of the law does not give us the option to give anyone advance notice of restrictions.

翻译 4：

被限制的用户可以选择把私有仓库开源。根据我们对法律的理解，我们没有在账户被限制之前提前通知用户的选项。

原推 5：

We’re not doing this because we want to; we’re doing it because we have to. GitHub will continue to advocate vigorously with governments around the world for policies that protect software developers and the global open source community.

翻译 5：

我们这样做不是因为我们想这样做，我们这样做是因为我们不得不这么做。

GitHub 将继续向世界上各个国家大力倡导保护软件开发人员和开源社区的政策。

注：以上英文“原推”内容来自 Nat Friedman 的推特” @natfriedman”, 中文译文仅供参考，如果译文与原文存在冲突，请以原文为准。

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2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析（三种方法）

题目

极限 $lim_{x \to \infty} [\frac{x^{2}}{(x - a) (x + b)}]^{x} =$ （）

$(A) 1.$

$(B) e .$

$(C) e^{a - b} .$

$(D) e^{b - a} .$

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美国银行 Capital One 发生大规模数据泄露

美国银行 Capital One 在当地时间 07 月 29 日表示， 2019 年 07 月 19 日，该银行遭遇了未授权的访问并导致 1.06 亿美国人和加拿大人的账户受到影响。Capital One 随后向美国司法部门报告了这一情况，FBI 已经逮捕了一个名为 Paige Thompson 的嫌疑人，该人曾经为 AWS (Amazon Web Services) 工作，而 Capital One 正在使用该公司的云服务。根据 Capital One 方面的消息，Thompson 盗取了大约 140,000 个社会保障账号 (SSN)，1 亿个加拿大社会保障账号 (SIN) 和 80,000 个银行账号。

亚马逊云服务（AWS）方面表示，AWS 与 Thompson 的雇佣关系已经于 2016 年结束，而且 Thompson 用于黑进 Capital One 的入口可以被任何人找到，Thompson 在这次行动中使用到的信息也不是其在为 AWS 工作期间获得的。

AWS 还表示，黑客此次黑进 Capital One 使用的漏洞是由于 Capital One 自己部署的 Web 应用程序配置错误导致的，不是由 AWS 云服务的底层基础设施的问题导致的漏洞。

Capital One 官网首页：

考研英语中可能会用到的“学科”名词

一

humanities 人文学科

social sciences 社会科学

二

后缀：-logy

methodology 方法学；方法论

geology 地质学

sociology 社会学

psychology 心理学

biology 生物学

ecology 生态学

anthropology 人类学

ideology 观念学

neurology 神经病学

archaeology 考古学

physiology 生理学

astrology 占星学；原始天文学

astronomy 天文学

futurology 未来学

theology 神学

三

后缀：-graphy

demography 人口统计学

geography 地理学

四

后缀：-tics

robotics 机器人技术

aeronautics 航空学

genetics 遗传学

economics 经济学

mathematics 数学

physics 物理学

politics 政治

linguistics 语言学

五

studies of XXX

某某学科

2014 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

行列式 $| \begin{matrix} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \end{matrix} | =$ ( )

$(A) (a d - b c)^{2}$
$(B) - (a d - b c)^{2}$
$(C) a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}$
$(D) b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}$

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 $f (x)$ 具有 $2$ 阶导数， $g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x,$ 则在区间 $[0, 1]$ 上 ( )

( A ) 当 $f^{'} (x) ⩾ 0$ 时， $f (x) ⩾ g (x) .$

( B ) 当 $f^{'} (x) ⩾ 0$ 时， $f (x) ⩽ g (x)$ .

( C ) 当 $f ” (x) ⩾ 0$ 时， $f (x) ⩾ g (x)$ .

( D ) 当 $f ” (x) ⩾ 0$ 时， $f (x) ⩽ g (x)$ .

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Elon Musk 展示猎鹰 9 火箭再入大气层时突破音障的图片

Elon Musk 于当地时间 2019 年 07 月 28 日在 Twitter 上展示了一张猎鹰 9 火箭再入大气层后突破音障时的图片 (Figure 1)，并说道：

Falcon 9 piercing the sound barrier on reentry.
twitter.com/elonmusk/

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GitHub 限制伊朗用户的账户

一位名叫 Hamed 的伊朗软件开发者近日发表了一篇文章 (GitHub blocked my account and they think I’m developing nuclear weapons), 文章中 Hamed 讲述了自己的 GitHub 账户被限制的经历。

Figure 1 是 Hamed 的 GitHub 个人页面截图，可以看到一段黄色的警示文字：

Figure 1. from https://medium.com/@hamed

Hamed 居住在伊朗，2012 年的时候，他开始使用 GitHub. 在 GitHub 于 2019 年 01 月宣布私有仓库免费之后，Hamed 更是将自己的项目都放到了 GitHub 上。虽然由于国际禁运的影响，Hamed 在参加完 Hacktoberfest 活动之后没能收到主办方发放的 T 恤衫，Hamed 也没觉得没有什么，毕竟他还可以继续使用 GitHub 提供的免费服务。

Hamed 收到的关于无法向他寄送 T 恤衫的邮件：

Figure 2. from https://medium.com/@hamed

但是，Hamed 却在 07 月 25 日突然收到了 GitHub 的邮件，告知他其 GitHub 账户已经被限制：

Figure 3. from https://medium.com/@hamed

根据 Hamed 的说法，GitHub 不仅限制了 Hamed 一个用户的账户，而是限制了所有伊朗用户，限制使用的功能包括代码仓库和 GitHub Pages.

GitHub 限制这些账户的理由是为了遵守美国的法律，因为 GitHub 是一家美国公司。但是这一事件也促使我们不得不思考，计算机科学技术领域的“自由”与“开放”的精神是否足够真实，这种“自由”与“开放”与国家的法律之间又该以怎样的方式共存？