「荒原之梦考研数学」文章 – 第 21 页

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$$
\exp (x)
$$

“吹牛”是为了“狐假虎威”，以比别人看起来更牛，“哭惨”是为了“抛砖引玉”，以听到别人更惨，不过是一个直白，一个含蓄，而背后的逻辑都是为了建立形成优越感的落差。这样的心理其实再正常不过了，因为人们普遍不希望展现自己落魄或无能的一面，只是有的人能够克制这样的展现欲，而有的人则不加掩饰。然而，功利化的比较虽然说不上低劣，但功利化的比较往往是没有意义的，因为每个人都沉浸在自己的角色中，每个人都有一套自圆其说的哲学，一群人比较的结果就是，每个人都觉得自己也还行。

2024 年 10 月 08 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：NASA 陆地资源卫星 8 号（Landsat 8）的陆地成像仪于 2024 年 09 月 07 日在新西兰南岛上空拍摄了这张细长的透镜云图像，当地人称之为 “Taieri Pet”. 当盛行风遇到地形障碍时，如山脉，就会形成透镜云。风被迫向上流动并越过山脉，在大气中产生一种波浪。空气在波峰处冷却，其中含有的水蒸气凝结成云，从而形成了“透镜云”。
Image credit: NASA/Lauren Dauphin; USGS

没说邻域内可导不能用洛必达法则

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 与 $\left\{\beta_{n} \right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：

$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left(x_{0} + \alpha_{n} \right) – f \left(x_{0} – \beta_{n} \right)}{\alpha_{n} + \beta_{n} }
$$

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每日箴言：时刻都要防止流于表面，时刻都要注意直抵核心

表面工作是推动事物发展的次要方面，甚至是负向方面——真正能推动事物前进的，是直抵核心的实干，这样的实干也许并不光鲜亮丽，也许不能立即获得正向的反馈，但却是实现成功的核心要素。所以，不是先有美丽的花，才有饱满的种子，而是先有了扎根于泥土之中的种子，才有了明媚的鲜花。

2024 年 10 月 07 日

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描述：1964 年 10 月 30 日，NASA 飞行员乔·沃克坐在 1 号登月研究车的飞行员训练平台上，该平台可以模拟在月球表面下降的最后 200 英尺。
Image credit: NASA

借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

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每日箴言：努力汲取正向的营养，才能避免侵蚀

世界总是具有自发产生侵蚀的趋势，只有不断地完善，不断地汲取正向的力量，才能对抗侵蚀。

2024 年 10 月 06 日

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描述：这张 2013 年 10 月 30 日由 NASA 广域红外巡天探测器（WISE）拍摄的照片捕捉到了一个看起来像是女巫尖叫的星云。
Image credit: NASA/JPL-Caltech

二维连续型随机变量的几何意义是什么？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过对二维连续型随机变量几何意义的解释，让同学们能够建立对二维连续型随机变量更直观的理解。

二维连续型随机变量的几何意义是什么？| 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01 二维高斯分布的三维示意图.

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每日箴言：每一次冲锋，都是梦想之歌的一个音符

每一次播种，每一次耕耘，每一滴灼热的汗水，都在烙印梦想之歌的音符，这也许只是普通的一次努力，也许只是平常的一份辛劳，但正是这一点一滴，才能组成宏伟的画卷。

2024 年 10 月 05 日

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描述：美国东部时间 2024 年 10 月 14 日星期一下午 12 时 06 分，一枚搭载美国宇航局欧罗巴快船航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭从位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心 39A 发射场发射升空。
Photographer: NASA/Frank Michaux
Date Created: 2024-10-14
NASA ID: KSC-20241014-PH-FMX01_0001

式子中极限为 $1$ 的部分可直接写成 $1$：因为 $1$ 事实上不会对式子产生任何影响

一、题目

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } \left( \frac { a^{\frac{1}{n} } + b^{ \frac{1}{n} } + c^{ \frac{1}{n}} }{3} \right)^{n}
$$

其中 $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

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每日箴言：春生秋枯是生命独有的礼赞

生命的真谛在于不断的更替，永恒不变的事物是没有生命的。所以，虽然一块石头可以跨越亿万年的时光，但却不能像一株小草一样感受到阳光和雨露，也无法感受到四季美轮美奂的更迭，更无法将无尽的希望凝聚成种子，播撒向远方。

2024 年 10 月 04 日

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描述：美国东部时间 2024 年 10 月 14 日星期一下午 12 时 06 分，一枚搭载美国宇航局欧罗巴快船航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭从位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心 39A 发射场发射升空。
Photographer: NASA/Kim Shiflett
Date Created: 2024-10-14
NASA ID: KSC-20241014-PH-KLS01_0107

证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍

一、题目

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } n \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right] = ?
$$

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每日箴言：善良不是懦弱，强大不是蛮横

有原则有底线，知尊重会舍得，所以，最好的人生状态，既不是扶不上墙的“软”，也不是锋芒毕露的“刚”。

2024 年 10 月 03 日

连续型随机变量的分布函数为什么要从 $-\infty$ 大开始积分？

一、前言

我们知道，连续型随机变量 $\xi$ 的分布函数 $F$ 能够表示为非负可积的概率密度函数（分布密度函数）$p$ 在区间 $(- \infty, x)$ 上的积分，即：

$$
F(x) = \int_{\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ – \infty }}}^{x} p(t) \mathrm{~d} t
$$

其中，$- \infty < x < + \infty$.

但是，为什么对 $p(t)$ 的积分要从 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ -\infty }}$ 开始呢？

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每日箴言：落差可以让人产生难以抑制的优越感，也可以让人坠入深渊

优越感是一种“落差”，深渊也是一种“落差”，优越感并不是源于真正的优秀，但沉迷于优越感，却可以让我们坠入真正的深渊。

2024 年 10 月 02 日

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描述：美国东部时间 2024 年 10 月 14 日星期一下午 12 时 06 分，一枚搭载美国宇航局欧罗巴快船航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭从位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心 39A 发射场发射升空。
Photographer: SpaceX
Date Created: 2024-10-14
NASA ID: KSC-20241014-PH-SPX01_0001