2023年考研数二第04题解析:二阶常系数微分方程解的性质

一、题目题目 - 荒原之梦

已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )

(A) $a<0, b>0$

(C) $a=0, b>0$

(B) $a>0, b>0$

(D) $a=0, b<0$

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荒原之梦网:写在 2023 年的最后一天

2023年考研数二第03题解析:数列比较大小

一、题目题目 - 荒原之梦

设数列 $\left\{x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时 ( )

(A) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小

(B) $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小

(C) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的等价无穷小

(D) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的同阶但非等价无穷小

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2023年考研数二第02题解析:分段函数、导函数的性质

一、题目题目 - 荒原之梦

函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的原函数为 ( )

(A) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(B) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(C) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

(D) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

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导数不存在不一定没有切线:导数不能以极限的形式存在,但是切线可以以极限的形式存在

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则:

(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续

(B) $f^{\prime}(0)$ 存在

(C) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 不存在切线

(D) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线

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震荡无极限的三角函数 sin 和 cos 具有“自限性”

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}|x|^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 若:

(I) $f(x)$ 为连续函数;

(II) $f(x)$ 为可导函数;

(III) $f(x)$ 为连续可导函数,

则参数 $a$ 必须分别满足:

(A) ( I ) $a>0$; ( II ) $a>1$; ( III ) $a>2$

(B) ( I ) $a>1$; ( II ) $a>2$; ( III) $a>3$

(C) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 1$; ( III ) $a \geqslant 2$

(D) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 2$; ( III ) $a \geqslant 3$

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一点处导数是“该点处”的导数,而不是“趋于该点处”的导数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 某邻域有定义,则存在函数 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续并使 $f(x) – f\left(x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right) g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导的充要条件吗?

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只有乘以 “0” 才可以「抹平」跳跃间断点

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,连续函数 $F(x)=g(x) \varphi(x), x=a$ 是 $\varphi(x)$ 的跳跃间断点, $g^{\prime}(a)$ 存在, 则 $g(a)=0$, $g^{\prime}(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充分必要条件吗?

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