12 月 2023 - 荒原之梦

2023年考研数二第04题解析：二阶常系数微分方程解的性质

一、题目

已知微分方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ 的解在 $(- \infty, + \infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )

(A) $a < 0, b > 0$

(B) $a > 0, b > 0$

(D) $a = 0, b < 0$

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荒原之梦网：写在 2023 年的最后一天

时光的长河挥挥洒洒，犹如指尖的沙粒，无论人间的悲抑或喜，从未停止流淌。

再过几个小时，公历纪元的 2023 年就要彻底远去了，如同过去的千百年间无数个日子一样，在这 2023 年的最后一天里，太阳照常升起，照常落下，没有迟疑，没有留恋，也没有迷茫。

在这个世界上，最昂贵的不是高纯度的黄金，也不是硕大剔透的钻石，而是每分每秒都在耳边、在眼前、在每一寸肌肤中，滴答，滴答，静谧而逝的，时间。

自古至今，无论是平凡到没有留下姓名，也没有留下容貌的农夫，还是伟岸到缔造了千秋功业，被永世传颂的帝王，没有任何人、任何事物逃得过时间的洗礼、风化与埋葬。

然而，正是因为所有人、所有事物都将成为过去，世界才有了创造未来，迎接未来的现实可能。万事万物，正因为必然失去和消融，才能重新凝聚，重新矗立。

2023 年的最后一天，即将如约而去，请给这黑夜一个温柔的拥抱，然后挥一挥手，轻轻的，告别，过去的自己。

2023年考研数二第03题解析：数列比较大小

一、题目

设数列 ${x_{n}} ， {y_{n}}$ 满足 $x_{1} = y_{1} = \frac{1}{2}, x_{n + 1} = \sin x_{n}, y_{n + 1} = y_{n}^{2}$ , 当 $n \to \infty$ 时 ( )

(A) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小

(B) $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小

(D) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的同阶但非等价无穷小

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2023年考研数二第02题解析：分段函数、导函数的性质

一、题目

函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x + 1) \cos x, x > 0 \end{cases}$ 的原函数为 ( )

(A) $F (x) = {\begin{cases} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x), x \leq 0 \\ (x + 1) \cos x - \sin x, x > 0 \end{cases}$

(B) $F (x) = {\begin{cases} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) + 1, x \leq 0 \\ (x + 1) \cos x - \sin x, x > 0 \end{cases}$

(D) $F (x) = {\begin{cases} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} + x) + 1, x \leq 0 \\ (x + 1) \sin x + \cos x, x > 0 \end{cases}$

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2023年考研数二第01题解析：渐近线、等价无穷小

一、题目

$y = x \ln (e + \frac{1}{x - 1})$ 的斜渐近线方程是 ( )

(A) $y = x + e$

(B) $y = x + \frac{1}{e}$

(D) $y = x - \frac{1}{e}$

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左手洛必达，右手泰勒展开：通吃99.999%的极限问题

一、前言

解决高等数学中的极限问题用什么方法？

配项？凑项？拆分？

上面这些方法都有很强的技巧性，而且也并不适合所有极限类型的题目。

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导数不存在不一定没有切线：导数不能以极限的形式存在，但是切线可以以极限的形式存在

一、题目

已知 $f (x) = {\begin{array}{cl} \sqrt{x}, & x ⩾ 0 \\ \sqrt{- x}, & x < 0 \end{array}$ , 则：

(A) $f (x)$ 在 $x = 0$ 不连续

(B) $f^{'} (0)$ 存在

(D) $f^{'} (0)$ 不存在, 曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, 0)$ 有切线

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震荡无极限的三角函数 sin 和 cos 具有“自限性”

一、题目

已知 $f (x) = {\begin{array}{cc} | x |^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{array}$ 若：

(I) $f (x)$ 为连续函数;

(II) $f (x)$ 为可导函数;

(III) $f (x)$ 为连续可导函数,

则参数 $a$ 必须分别满足：

(A) ( I ) $a > 0$ ; ( II ) $a > 1$ ; ( III ) $a > 2$

(B) ( I ) $a > 1$ ; ( II ) $a > 2$ ; ( III) $a > 3$

(D) ( I ) $a > 0$ ; ( II ) $a ⩾ 2$ ; ( III ) $a ⩾ 3$

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页码： 12

一点处导数是“该点处”的导数，而不是“趋于该点处”的导数

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 某邻域有定义，则存在函数 $g (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续并使 $f (x) - f (x_{0}) = (x - x_{0}) g (x)$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导的充要条件吗？

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带有绝对值的一点处导数的定义怎么用？

一、题目

已知 $f (x), g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 可导, $F (x) = g (x) | f (x) |$ , 又 $f (x_{0}) = 0$ , 则 $F^{'} (x_{0})$ 存在的充要条件是什么？

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只有乘以 “0” 才可以「抹平」跳跃间断点

一、题目

已知，连续函数 $F (x) = g (x) φ (x), x = a$ 是 $φ (x)$ 的跳跃间断点, $g^{'} (a)$ 存在, 则 $g (a) = 0$ , $g^{'} (a) = 0$ 是 $F (x)$ 在 $x = a$ 处可导的充分必要条件吗？

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极限存在会有界，但有界不一定存在极限

一、题目

已知 $f (x)$ 在 $[a, + \infty)$ 上连续，则 “ $lim_{x \to + \infty} f (x)$ 存在” 是 “ $f (x)$ 为 $[a, + \infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗？

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