月度归档： 2023 年 10 月

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导, 且 $f^{\prime }\left(x_0\right)>0$, 则存在 $\delta >0$, 使得：

(A) $f(x)$ 在 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 单调上升.
(B) $f(x)>f\left(x_0\right),x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta ),x\ne x_0$.
(C) $f(x)>f\left(x_0\right),x\in (x_0,x_0+\delta )$.
(D) $f(x)<f\left(x_0\right),x\in (x_0,x_0+\delta )$.

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继续阅读“一阶导大于零处原函数是“凹”的”

一、题目

已知 $f(0)=0$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f\left(x^2\right)}{x^2}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“复合函数的可导性是外层函数可导性的子集”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}}{x},& x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$, 其中 $g(x)$ 二阶连续可导, 且 $g(0)=1$, $g^{\prime }(0)=-1$, 则 $f^{\prime }(0)=?$ $f^{\prime }(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续吗？

难度评级：

继续阅读“一点处的导函数值和区间上的导函数计算方式不一样，但都是导数”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x^2-1}},& |x|<1\\ x^4-b{x}^2+c,& |x|⩾1\end{array}$ 可导，则 $(b,c)=?$

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继续阅读“低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大，高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0，同阶无穷小和无穷大相乘等于 1”

一、前言

在本文中，我们将通过研究如下函数，来说明“间断点并不能决定一个函数是否是偶函数”这一结论。

$$f(x)=e^{\frac{1}{x^2–1}}$$

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继续阅读“间断点只是一点处的情况，并不能决定一个函数是否是偶函数”

一、题目

以下函数 $f[g(x)]$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是哪个？

(A) $f(u)=\ln (1+u^2),g(x)=\{\begin{array}{ll}{\sin }^{2}x+(x+1{)}^2,& x⩽0,\\ x^2+1,& x>0.\end{array}$

(B) $f(u)=\{\begin{array}{ll}1-u,& u⩽0,\\ u^2+1,& u>0,\end{array},g(x)=2\cos x-1$.

(C) $f(u)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1-u^2)}{u}\sin \frac{1}{u},& u<0,\\ 1-\cos \sqrt{u},& u⩾0,\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x<0,\\ x+\frac{{\pi }^2}{4},& x⩾0.\end{array}$.

(D) $f(u)={\mathrm{e}}^{u^2}+1,g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x<0,\\ 0,& x=0,\\ \sin \frac{1}{x},& x>0.\end{array}$

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继续阅读“都连续的函数复合出的函数一定连续”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 连续,则 “ $\mathrm{\exists }{x}_n\in [a,+\mathrm{\infty })$ 有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=+\mathrm{\infty }$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x_n\right)=\mathrm{\infty }$ ”是 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 无界的

(A) 既非充分又非必要条件.
(B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件.
(D) 充分非必要条件.

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继续阅读“无界函数：只要有一个过程无界就是无界函数，无界函数一定有至少一个过程是无界的”

一、题目

请问，$f(x)$ 在 $x_0$ 点连续” 是 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 点连续的

(A) 充分条件，但不是必要条件.
(B) 必要条件，但不是充分条件.
(C) 充分必要条件.
(D) 既不是充分，也不是必要条件.

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继续阅读“加绝对值不会产生间断点——绝对值倾向于弥合间断点”

一、题目

已知 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_0$ 间断，则在点 $x_0$ 处必定间断的函数是哪个？

(A) $f(x)\sin x$.
(B) $f(x)+\sin x$.
(C) $f^2(x)$.
(D) $|f(x)|$.

难度评级：

继续阅读“什么情况下间断点会被“弥合”？”

一、题目

已知 $u_n$ $=$ $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})$, 则下列命题正确的是哪个？

(A) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$ 不存在, 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n\ne +\mathrm{\infty }$.
(B) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=A>0$.
(C) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$.
(D) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$.

难度评级：

继续阅读“每次都乘以一个稍微大于 1 的数一定会得到无穷大吗？”

一、题目

下列命题中正确的是哪个？

(A) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)⩾\underset{x\to x_0}{lim}g(x)\Rightarrow$ 存在 $\delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, $f(x)⩾g(x)$

(B) 若存在 $\delta >0$ 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A_0$, $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=B_0$ 均存在, 则 $A_0>B_0$

(C) 若存在 $\delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $f(x)>g(x)\Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}f(x)⩾\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$

(D) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)>\underset{x\to x_0}{lim}g(x)\Rightarrow$ 存在 $\delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$

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继续阅读“辨析由极限的不等式所能推出的结论”

一、题目

已知抛物叶形线的一部分公式为：

$$y^2=\frac{x}{9}(3-x{)}^2(0⩽x⩽3)$$

如图 01 所示，它围成的图形为 $M$, 则 $M$ 的面积 $A=?$, $M$ 的质心 (形心) $(\overline{x},\overline{y})=?$

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继续阅读“曲线与平面的质心和形心计算公式你会用吗？”

一、题目

由相交于三点 $(x_1,y_1)(x_2,y_2)(x_3,y_3)$ (其中 $x_1<x_2<x_3)$ 的两曲线 $y=f(x)>$ $0,y=g(x)>0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为：

(A) ${\int }_{x_1}^{x_3}\pi [f(x)-g(x){]}^2\mathrm{d}x$
(B) ${\int }_{x_1}^{x_3}\pi [f^2(x)-g^2(x)]\mathrm{d}x$
(C) ${\int }_{x_1}^{x_3}\pi |f^2(x)-g^2(x)|\mathrm{d}x$
(D) $\left|{\int }_{x_1}^{x_3}\pi [f^2(x)-g^2(x)]\mathrm{d}x\right|$

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继续阅读“两条不同的曲线旋转形成的共有旋转体的体积怎么表示？”

一、题目

已知，无穷长直线 $L$ 的线密度为 $1$, 引力常数为 $k$, 则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力是多少？

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继续阅读“如果物理应用题没有配图，一定要注意判断自己画的图是否符合题意”