月度归档： 2023 年 10 月

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则下列结论中正确的是哪个或者哪些？

(1) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的任意子区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上 ${\int }_a^{\beta }f(x)\mathrm{d}x=0$, 则 $f(x)=0(\mathrm{\forall }x\in [a,b])$.

(2) $f(x)⩾0(x\in [a,b])$, 又 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$, 则 $f(x)=0(x\in [a,b])$.

(3) $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$, 则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾{\int }_a^{\beta }f(x)\mathrm{d}x$

难度评级：

继续阅读““任意”和“某个”含义大不一样”

一、题目

下列命题中，正确的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积, $f(x)⩾0,\not\equiv 0$, 则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x>0$.

(B) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 不可积,则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a,b]$ 不可积.

(C) 设 $f^2(x)$ 在 $[a,b]$ 可积,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积.

(D) 设 $x_0\in (a,b),f(x)$ 在 $[a,b]/\{x_0\}$ 连续且有界, $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的间断点, 则 $F(x)=$ ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 在 $x=x_0$ 不可导.

难度评级：

继续阅读“判断函数是否可积的若干特例/反例”

一、题目

下列函数在指定区间上不存在定积分的是哪一个？

(A) $f(x)=\{\begin{array}{cl}\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 1,& x=0,\end{array}$ $x\in [-1,1]$

(B) $f(x)=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cl}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$ $x\in [a,b]$

(C) $f(x)=\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0,\\ 1,& x=0,\end{array}$ $x\in [-1,1]$

(D) $f(x)=\{\begin{array}{cc}\tan x,& x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),\\ 0,& x=\pm \frac{\pi }{2},\end{array}$ $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

难度评级：

继续阅读“无界函数没有定积分”

一、题目

下列说法中正确的是哪个或者哪些？

(1) 设 $f^2(x)$ 在 $x=x_0$ 连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续.
(2) 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续,则 $|f(x)|$ 在 $x=x_0$ 连续.
(3) 设 $|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 可积,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积.
(4) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 有界, 只有有限个间断点, 则 $|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 可积, 即在 $[a,b]$ 存在定积分.

难度评级：

继续阅读“平方和绝对值都具有“弥合”的效果”

一、题目

函数 $f(x)=3\arccos x-\arccos (3x-4x^3)$ 在 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 上的单调性是怎样的？

难度评级：

继续阅读“式子复杂不要怕：考试题目都是精心设计好的，复杂的部分基本都能消去”

一、题目

曲线 $y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 有几种渐近线？

难度评级：

继续阅读“有垂直渐近线的一侧可能还有水平或者倾斜渐近线”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(1-\delta ,1+\delta )$ 内存在导数，$f^{\prime }(x)$ 单调减少，$f(1)=f^{\prime }(1)=1$, 则下列说法正确的是哪个？

(A) 在 $(1-\delta ,1)$ 内有 $f(x)x$.
(B) 在 $(1-\delta ,1)$ 内有 $f(x)>x$, 在 $(1,1+\delta )$ 内有 $f(x)x$.

难度评级：

继续阅读“凸函数的一阶导函数值单调减少，凹函数的一阶导函数值单调增加”

一、题目

已知，曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$, 则下列说法正确的是：

(A) 曲线的凸区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凹区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 无拐点.
(B) 曲线的凹区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凸区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 无拐点.
(C) 曲线的凸区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凹区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 拐点为 $(4,0)$.
(D) 曲线的凹区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凸区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 拐点为 $(4,0)$.

难度评级：

继续阅读“二阶导正负发生改变的点一定是拐点”

总结：拐点本质上是二阶导的正负性发生改变的点，这个点可能是二阶导等于零的点，也可能是二阶导不存在的点。

继续阅读“通过二阶导函数和一阶导函数的函数图像判断原函数拐点的个数”

题目 01

以下命题中正确的是哪个？

(A) 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界.
(B) 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界.
(C) 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界, 则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界, 则 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界.

难度评级：

继续阅读“在有界区间上，原函数有界导函数不一定有界，导函数有界原函数一定有界——在无界区间上，一阶导函数有界原函数也可能无界”

一、题目

曲线 $\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t),\end{array}$ $(a>0)$ 在参数 $t=\frac{\pi }{2}$ 对应点处的曲率 $k=?$

难度评级：

继续阅读“曲率半径是曲率的倒数”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上有定义, 则下述命题中正确的是哪个？

(A) 若 $f^{\prime }\left(x_0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=0,f^{\prime \prime \prime }\left(x_0\right)\ne 0$, 则 $x_0$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点.
(B) 若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值, 则 $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$.
(C) 若 $f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=0$, 则 $(x_0,f\left(x_0\right))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上可导且单调增加, 则对一切 $x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, 都有 $f^{\prime }(x)>0$.

难度评级：

继续阅读“函数单调增加（没说“严格单调增加”）则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}2-\cos x,& x⩽0\\ \sqrt{x}+1,& x>0\end{array}$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点吗？$(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点吗？

难度评级：

继续阅读“一阶导和二阶导的正负并不是判断一个点是否是极值点和拐点的根本办法”

一、题目

已知 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 且 $f^{\prime }(1)=0,\underset{x\to 1}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{2}$, 则以下说法中正确的是哪个？

(A) $f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
(B) $f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
(C) $f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值, 并且 $(1,f(1))$ 不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标.
(D) $(1,f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标.

难度评级：

继续阅读“趋于“0 正”也算是大于零”

一、题目

已知 $f(x)$ 对一切 $x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 满足方程 $(x-1)f^{\prime \prime }(x)$ $+$ $2(x-1){[f^{\prime }(x)]}^3=$ $1-{\mathrm{e}}^{1-x}$, 且 $f(x)$ 在 $x=a(a\ne 1)$ 处 $f^{\prime }(a)=0$, 则 $x=a$ 时 $f(x)$ 取得极值吗？如果取得极值，是极大值还是极小值？

难度评级：

继续阅读“这样的式子你见过吗：无论分母大于零还是小于零，分式整体都大于零”