月度归档： 2023 年 9 月

一、题目

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{2x^2-1}}=?$$

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一、题目

已知，$I={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}[\frac{2x^2+bx+a}{x(2x+a)}-1]\mathrm{d}x=1$, 则 $a=?$, $b=?$

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一、前言

区间再现的强大之处在于，可以在【不改变】原有积分的【积分区间】的基础上，实现对被积函数的变形转化——这实际上就是利用原有被积函数的对称性，实现了【平移】。

有些时候，当我们对一个定积分题目无从下手时，试试区间再现，可能会有意想不到的效果。

总的来说，就是当我们要求解 $I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 时，通过变形将 $I$ 转换为 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 的形式，这样一来就有：

$$I=\frac{1}{2}{\int }_a^b[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x$$

一、题目

已知，通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x,y)$ 处切线的斜率等于 $1+\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2$, 则此曲线的方程是多少？

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一、题目

已知，$a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b$, $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }=f(x)$ $(x\in [0,+\mathrm{\infty }))$ 的解，则：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\prime }(x)=?$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\prime \prime }(x)=?$$

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一、题目

已知，$u$ $=$ $u\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 其中，$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ 有二阶连续的偏导数，且满足：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}-\frac{1}{x}\frac{\partial u}{\partial x}+u=x^2+y^2$$

则 $u\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=?$

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一、题目

已知，$y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime }+2m{y}^{\prime }+n^{2}y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime }(0)$ $=b$ 的特解，其中 $m>n>0$, 则 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y(x)\mathrm{d}x=?$

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一、题目

已知，$y_1=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}$, $y_2=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$, $y_3=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，请确定此微分方程的形式。

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一、题目

已知，连续函数 $f(x)$ 满足 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $=$ $x+\sin x+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t$, 则 $f(x)=?$

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一、题目

方程 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=(6x+2){\mathrm{e}}^x$ 满足条件 $y(0)=3$, $y^{\prime }(0)=0$ 的特解 $Y=?$

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一、题目

微分方程 $y{y}^{\prime \prime }+2{\left(y^{\prime }\right)}^2=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ 的特解是多少？

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一、题目

微分方程 $(x\tan y+\sin 2y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解是多少？

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一、题目

已知，$g(x)$ 有连续的导数, $g(0)=0$, $g^{\prime }(0)=a\ne 0$, $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连
续，则 $\underset{r\to 0^{+}}{lim}\frac{{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{g\left(r^2\right)}=?$

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一、题目

已知，$f(x,y)$ 连续，且 $f(x,y)$ $=$ $xy+{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$, 其中 $D$ 是由 $y=0,y=x^2,x=1$ 所围区域，则 $f(x,y)=?$

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