一、题目
$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) = ?
$$
难度评级:
继续阅读“二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换”$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) = ?
$$
难度评级:
继续阅读“二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换”二元函数 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗?
难度评级:
继续阅读“什么时候二元函数的极限不存在:沿不同直线或者曲线极限值不相等时”二元函数 $f(x, y)=\begin{cases}
& \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\
& 0, & (x, y)=(0,0)
\end{cases}$, 在点 $(0,0)$ 处是否连续?$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是否存在?
难度评级:
继续阅读“怎么证明二元函数的极限存在:用放缩法”已知函数 $f(x)$ 连续,且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=?$
难度评级:
继续阅读“这道题没说函数可导,所以就不能求导了嘛?”初值问题 $\left\{\begin{array}{l}1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime}, \\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1\end{array}\right.$ 的特解是()
难度评级:
继续阅读“一层一层剥洋葱:从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程”已知 $f(x)$ 具有一阶连续导数, $f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)$ $=$ $f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~d} y$, 则 $f(x)$ 等于()
难度评级:
继续阅读“你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗”下面哪些是线性微分方程:
(1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$
(2) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$
(3) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$
(4) $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$
难度评级:
继续阅读“怎么判断微分方程是线性的?这里有三个判断条件和一道典型例题”已知 $y^{*}$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$ $+$ $(x^{2}$ $+$ $2) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $a y^{\prime}$ $+$ $b y$ $=$ $(c x + d) \mathrm{e}^{x}$ 的一个解,方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是多少?
难度评级:
继续阅读“已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数”已知 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解,其中 $b, c$ 为正的常数,则 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)$ 与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 有关吗?
难度评级:
继续阅读“当变量趋于无穷大的时候,有关的量也可能变得无关:极限下的情况不能用有限时的思维判断”已知 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 且以 $T$ 为周期,则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=O(y=y(x) \neq 0)$ 有解且以 $T$ 为周期的充要条件吗?
难度评级:
继续阅读“判断一阶线性微分方程的解是否是一个周期函数”变上限积分是定积分的一种,但又不是一般的定积分,我们有些时候甚至会用变上限积分直接替代不定积分使用——那么,变上限积分和不定积分到底有什么关系呢?
继续阅读“不定积分和变上限积分的联系与区别”已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3}$ 则可得 $f(x)$ 的表达式为()
难度评级:
继续阅读“当一阶线性微分方程披上了变限积分的“外衣””