一个向量组可由另一个向量组线性表示的充分必要条件是什么?(C019)


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问题

一个向量组 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s})$ 可由另一个向量组 $B = (\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t})$ 线性表示(线性表出)的【充分必要条件】是什么?

选项

[A].   $r(A) \neq r(A,B)$

[B].   $r(A) > r(A,B)$

[C].   r(A) < r(A,B)

[D].   $r(A) = r(A,B)$


答 案

$r(A) = r(A,B)$

副对角线上有分块矩阵的行列式的计算公式怎么记?将一个“块”看做一个数字就可以啦

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵,且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$, 则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=?$

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什么是“前充分后必要”?什么是“小充分大必要”?这道题体现得淋漓尽致

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,4,7,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6, a, 6)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,1,3, a)^{\mathrm{\top}}$, 那么 $a=8$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关的充要条件吗?

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一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0, \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗?可导吗?

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用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数?反推即可

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$.

请证明:存在 $\eta \in(1,2)$, 使 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}$ 成立。

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证明中值等式成立问题的两种思路:构造函数后用零点定理或罗尔定理

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$

请证明:存在 $\xi \in(1,2)$, 使 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}$ 成立。

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泰勒公式总是在你没有思路的时候出手相救——可尝试泰勒公式的特征:两量相减,有 1 次幂和 2 次幂

一、题目题目 - 荒原之梦

证明下面的不等式:

$$
\left|\frac{\sin x-\sin y}{x-y}-\cos y\right| \leq \frac{1}{2}|x-y|, \quad (x \neq y)
$$

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怎么通过伴随矩阵求解原矩阵?这个关于伴随矩阵的核心公式一定要牢记!

一、题目题目 - 荒原之梦

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

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这种涉及到超大次幂的题目一定是有规律的

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B P}$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{100}=?$

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X 轴和 Y 轴分量上的偏导数本质上就是一元函数的导数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 $f(x, y)$ 可微,且对于任意的 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} > 0$, $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$, 且不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)<f\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 成立,则 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间以及 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 之间必须满足什么条件?

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X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在代表原函数在 X 轴和 Y 轴分量上连续

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 皆存在,则以下说法中正确的是哪个?

(A) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续

(B) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在

(C) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim \limits_{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

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