设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵，若 $A^{2} + A = 2E$, 且 $|A|=4$, 则二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为 $?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $+$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $-$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
设 $A$ 是 $4$ 阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $AX=0$ 的基础解系中有 $2$ 个向量，则 $r(A^{*}) = ?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $0$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $1$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $2$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $3$
注意：以下讨论的矩阵 $A$ 与 $A^{*}$ 都是方阵。
$n$ 阶矩阵 $A$ 的秩与其伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩之间的关系如下：
①
如果 $A$ 满秩，即 $r(A)=n$, 则 $A^{*}$ 也满秩，即 $r(A^{*})=n$;
②
如果 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^{*})=1$;
③
如果 $r(A) < n-1$, 则 $r(A^{*})=0$.
也就是说，随着原矩阵秩的减小，其伴随矩阵的秩会出现“断崖式”的快速下降。
EOF
设函数 $f(x), g(x)$ 的二阶导函数在 $x=a$ 处连续，则 $\lim_{x \rightarrow a}$ $\frac{f(x) – g(x)}{(x-a)^{2}}$ $=$ $0$ 是两条曲线 $y$ $=$ $f(x)$, $y$ $=$ $g(x)$ 在 $x$ $=$ $a$ 对应点处相切及曲率相等的 $?$.
$\textcolor{Orange}{[A]}$ 充分不必要条件
$\textcolor{Orange}{[B]}$ 充分必要条件
$\textcolor{Orange}{[C]}$ 必要不充分条件
$\textcolor{Orange}{[D]}$ 既不充分又不必要条件
已知平面区域 $D$ $=$ $\{ (x, y) | |x| + |y|$ $\leqslant$ $\frac{\pi}{2} \}$, 记：
$I_{1}$ $=$ $\iint_{D}$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $dxdy$, $I_{2}$ $=$ $\iint_{D}$ $\sin$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ $dxdy$, $I_{3}$ $=$ $\iint_{D}$ $(1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}})$ $dxdy$, 则（）
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $I_{3} < I_{2} < I_{1}$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $I_{2} < I_{1} < I_{3}$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $I_{1} < I_{2} < I_{3}$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $I_{2} < I_{3} < I_{1}$
已知微分方程 $y^{”} + ay^{‘} + by = ce^{x}$ 的通解为 $y = (C_{1}+C_{2}x)e^{-x} +e^{x}$, 则 $a, b, c$ 依次为 $?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $1, 0, 1$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $1, 0, 2$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $2, 1, 3$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $2, 1, 4$
下列反常积分发散的是：
A. $\int_{0}^{+\infty} xe^{-x}dx.$
B. $\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^{2}}dx.$
C. $\int_{0}^{+\infty}\frac{arc \tan x}{1+x^{2}}dx.$
D. $\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}dx.$
设函数 $f(u)$ 可导，$z$ $=$ $yf(\frac{y^{2}}{x})$, 则 $2x$ $\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $y$ $\frac{\partial z}{\partial y}$ $=$ $?$
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