2019年考研数二第09题解析

题目

$$\lim_{x \rightarrow 0} (x+2^{x})^{\frac{2}{x}}=?$$

解析

已知:

$$\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = e.$$

$$a^{x} – 1 \sim x \ln a.$$

$$\log_{a}^{M} + \log_{a}^{N} = \log_{a}^{(MN)}.$$

$$\log_{a}^{M^{n}} = n \log_{a}^{M}.$$

解题过程如下:

$$原式 = $$

$$\lim_{x \rightarrow 0}[(1 + x + 2^{x} – 1)^{\frac{1}{x+2^{x}-1}}]^{\frac{2(x+2^{x}-1)}{x}} = $$

$$e^{2 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x+2^{x}-1}{x}}} = $$

$$e^{2 \lim_{x \rightarrow 0}(1 + \frac{2^{x}-1}{x}) = }$$

$$e^{2(1 + \ln 2)} = $$

$$e^{2+2 \ln 2} = $$

$$e^{\ln^{e^{2}} + \ln 4} = $$

$$e^{\ln 4e^{2}} = $$

$$4e^{2}.$$

综上可知,答案为:$4e^{2}.$

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