概率统计归档 - 荒原之梦

矩估计原理的“峰式”图形化解释

一、前言

关于概率统计学科中的“矩估计”为什么能用于估计某种分布的未知参数，我们可以通过传统的数学语言，给出非常严格的说明，详细内容可以阅读「荒原之梦考研数学」的《矩估计详解》这篇文章。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过创造性的“峰式”图形化解释，将矩估计背后所依据的抽象原理具象化，为同学们理解和应用矩估计提供一种全新的视角。

矩估计详解

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解概率论和数理统计中重要的参数估计方法之一的矩估计，并利用习题来验证我们学到的矩估计方法。

一次性看懂期望和均值的联系与区别

一、前言

概率统计中的期望和均值是否相等？期望和均值之间存在着怎样的联系与区别？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲解明白这一问题。

图解随机变量和样本观测值的联系与区别

一、前言

在概率统计中，随机变量和样本观测值（或“样本的特征值”）是两个相关但不相同的概念。但是，在学习的过程中，随机变量和样本的观测值一般都是用数字进行表示的，此时，稍不注意就可能忽略了其中存在的区别。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用图解的方式为同学们讲解清楚这两个概念之家的联系和区别。

经验分布函数的图形化理解

一、前言

经验分布函数是考研数学大纲中的一个“冷门”知识点，考察频次较低。但是，对于考研的学子们来说，再“冷门”的知识点，我们都要认真学习。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将结合离散型随机变量的分布函数和直观形象的示意图，让同学们快速理解什么是“ 经验分布函数 ”。

构成卡方分布的正态分布必须是标准正态分布且系数为 1

一、题目

已知 $ξ_{1}$ , $ξ_{2}$ , $\dots$ , $ξ_{8}$ 是来自标准正态分布的总体 $ξ \sim N (0, 1)$ 的容量为 $8$ 的简单随机样本，而 $η$ $=$ ${(ξ_{1} + ξ_{2} + ξ_{3} + ξ_{4})}^{2}$ $+$ ${(ξ_{5} + ξ_{6} + ξ_{7} + ξ_{8})}^{2}$ .

试求常数 $k$ , 使得随机变量 $k η$ 服从 $χ^{2}$ 分布，同时指出 $χ^{2}$ 分布的自由度。

难度评级：

为什么样本值减去样本均值后求和等于零？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式：

$\sum_{i = 1}^{n} (ξ_{i} - \bar{ξ}) = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i} - n \bar{ξ} = 0$

其中， $\bar{ξ}$ 为样本 $(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} \dots, ξ_{n})$ 的均值。

基于条件概率详解全概率公式的证明

一、前言

在另一篇文章中，「荒原之梦考研数学」通过图解的方式证明了全概率公式，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统的证明方法实现对全概率公式的证明：

$\begin{aligned} P (A) & = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) P (A ∣ B_{i}) \\ P (B) & = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) \end{aligned}$

概率统计中用于表示“方差”的那些符号

一、前言

方差可以用来描述随机变量的离散程度，是数理统计中一个常用的统计特征。

但是，在不同的数学学习资料中，表示方差所用的符号可能存在区别，这对我们的学习产生了一定的困扰。

因此，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们汇总整理了不同学习资料中常用的方差表示方法，以方便同学们的学习。

一般的一维正态分布到标准正态分布的转换公式与例题详解

一、前言

标准正态分布具有很多独特的性质，因此，一般的普通正态分布到标准正态分布的转换，也是概率统计这门学科经常考察的一个知识点。

在本文中，我们只考虑一维情况下的一般正态分布（普通正态分布）到标准正态分布的转换公式以及例题。

正态分布概率密度函数图像的特殊点

一、前言

在手绘正态分布的概率密度函数的时候，我们需要知道概率密度函数图象的大致形状和一些特殊点的位置，这也可以帮助我们理解正态分布相关概念以及辅助解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们绘制了一个清晰的正态分布概率密度函数图象，并标注出了一些特殊的坐标点。

什么是点估计？点估计的作用是什么？

一、前言

什么是点估计？点估计的作用是什么？| 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01. 点估计定义的可视化结构关系图。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，用直观的表述给同学们讲明白概率论与数理统计中的“点估计”这一概念。

高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系

一、前言

荒原之梦考研数学 | 高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系 | 图 01. — 图 01. 图中描绘了一种二维高斯函数 $g (x, y)$ $=$ $e^{- (x^{2} + y^{2})}$ , 以及其在三维坐标系 $X O Z$ 平面上投影所得的一种一维高斯函数 $g (x)$ $=$ $e^{- x^{2}}$ 和在三维坐标系 $Y O Z$ 平面上投影所得的一种一维高斯函数 $g (y)$ $=$ $e^{- y^{2}}$ .

高斯函数、高斯积分和正态分布之间具有密切的关系，搞明白这些关系，有助于我们对题目和解题方式有更清晰的理解。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲明白这些概念之间的关系。

概率论中的 $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ 表示什么意思？

一、前言

在一些概率论和数理统计的题目或者学习资料中，我们可能会看到如下这样的写法：

$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$

那么，上面这个式子是什么意思呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细解答一下。

有限总体的大量无放回抽样不是简单随机抽样

一、前言

“抽样”是概率论中的一个关键概念，一般情况下，“抽象”特指“简单随机抽样”。

那么，什么是“简单随机抽样”，什么不是“简单随机抽样”呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解清楚这一问题。