什么是点估计？点估计的作用是什么？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，用直观的表述给同学们讲明白概率论与数理统计中的“点估计”这一概念。

二、正文

简单地说，点估计就是用 样 本 所表现出来的某种 统 计 特 征 （如均值或方差等）来 近 似 看 作 总 体 对应的 统 计 特 征 。如果样本的统计特征中包含了待估计的参数 $\theta_{1}$, $\theta_{2}$, $\cdots$, $\theta_{n}$, 则我们就可以通过 求 解 样 本 统 计 特 征 的方式， 确 定 这些 待 估 计 参 数 的估计值，即 $\hat{\theta}_{1}$, $\hat{\theta}_{2}$, $\cdots$, $\hat{\theta}_{n}$. 当然，并不是样本的任一统计特征中都包含了我们要求解的带估计参数，所以，在实际计算的时候，要根据带估计参数的类型和数量等信息来确定具体使用样本的哪个或者哪些统计特征（使用多个统计特征求解未知参数的时候，一般要联立方程组求解）。

由于上面的步骤其实就是在解等式方程（或方程组），因此求解出来的每个估计量 $\hat{\theta}_{1}$, $\hat{\theta}_{2}$, $\cdots$, $\hat{\theta}_{n}$ 都对应唯一的一个估计值，就像是一个“点”，因此上面的估计方法就叫做“点估计”。

点估计严格的定义如下：

设 $\textcolor{orange}{ \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$ 是总体 $\xi$ 的样本，$\theta$ 为总体的未知参数，我们构造统计量 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$. 对于样本观测值 $\textcolor{magenta}{ \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$, 若将统计量的观测值 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$ 作为未知参数 $\theta$ 的值，则称 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$ 为 $\theta$ 的 估 计 值 ，而统计量 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$ 称为 $\theta$ 的 估 计 量 。$\theta$ 的估计量和估计值常记为 $\hat{\theta}$（一般读作 $\theta$ 尖）且统称为 $\theta$ 的估计。这种对未知参数进行的定值估计称为参数的点估计。

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在上面的定义中，比较难理解的部分是“统计量 $T$”:

我们可以将统计量 $T$ 看作是一个函数，这个函数的作用就是计算输入数据的统计特征。例如，计算输入数据的平均值和方差等。至于到底要计算哪一个统计特征，则要看要估计的未知参数 $\theta$ 表示的是什么意思；而对函数 $T$ 的构造，也就是统计特征的具体计算方法，则有矩估计法、最大（极大）似然估计法和最小二乘法等。

因此，式子 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$ 所表达的意思就是计算 $\textcolor{orange}{\xi_{1}}$, $\textcolor{orange}{\xi_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\xi_{n}}$ 这些样本的统计特征。

但是，$\textcolor{orange}{\xi_{1}}$, $\textcolor{orange}{\xi_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\xi_{n}}$ 只是“样本”，如果要真正计算出样本的统计特征值，还需要对样本进行“观测”，用观测所得的具体数据 $\textcolor{magenta}{x_{1}}$, $\textcolor{magenta}{x_{2}}$, $\textcolor{magenta}{\cdots}$, $\textcolor{magenta}{x_{n}}$ 来计算具体的统计特征值，记为 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$.

因此，如果将“ 估 计 量 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$”理解为函数，则“ 估 计 值 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$”就可以理解为函数值。

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