一、题目
四元齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{4}=0 \\ x_{3}-3 x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是（）
难度评级：
继续阅读“求解基础解系的方法：每次令一个自由未知数值为 1, 其余自由未知数值为 0, 求解对应的非自由未知数的值（极大线性无关组对应非自由未知数）”分类： 考研数学
求解线性方程组基础解系的顺口溜
一、前言 
在求解线性方程组基础解系时，到底哪些是自由未知数，哪些是非自由未知数，哪些先赋值，哪些不赋值，是不是“傻傻分不清”？背会本文这个顺口溜，就很容易记住啦！
继续阅读“求解线性方程组基础解系的顺口溜”极大线性无关组的选取不一定是某个固定的组合：只要线性无关且再加一个向量就线性相关即可
一、题目
向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,3,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-2,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,1,-5,-2)^{\mathrm{\top}}$ 的极大线性无关组是（）
难度评级：
继续阅读“极大线性无关组的选取不一定是某个固定的组合：只要线性无关且再加一个向量就线性相关即可”这个三阶矩阵秩为 2 怎么算？化简即可
一、题目
已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,2,-2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2, a,-2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,6,2)^{\mathrm{\top}}$ 的秩为 $2$, 则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“这个三阶矩阵秩为 2 怎么算？化简即可”不是所有题目都会问我们未知数的值是多少——也有可能会问我们未知数的值不是多少
一、题目
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, a)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关，则 $a$ _
难度评级：
继续阅读“不是所有题目都会问我们未知数的值是多少——也有可能会问我们未知数的值不是多少”线性无关的向量经运算之后变相关，则背后隐藏的矩阵一定线性相关
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“线性无关的向量经运算之后变相关，则背后隐藏的矩阵一定线性相关”三个四维列向量线性无关有什么性质？秩小于 3 还是小于 4 ?
一、题目
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,-1, a, 5)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“三个四维列向量线性无关有什么性质？秩小于 3 还是小于 4 ?”只要存在线性相关的向量，则组成的行列式一定值为零——但一定要记得验证所得未知数的值是否会导致原本线性无关的向量变得线性相关
一、题目
已知向量 $\boldsymbol{\beta}=(1, a,-1)^{\mathrm{\top}}$ 可以由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+2,7,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,2)^{\mathrm{\top}}$ 线性表出，则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“只要存在线性相关的向量，则组成的行列式一定值为零——但一定要记得验证所得未知数的值是否会导致原本线性无关的向量变得线性相关”二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦
题目 02
已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
解析 02
首先验证偏导数是否存在：
$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{f(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\frac{0-0}{(\Delta x)^{2}}=0
$$
$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{f(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\frac{0-0}{(\Delta y)^{2}} = 0
$$
Tips:
为了简便起见，在求解出 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 可由变量 $x$ 与 $y$ 的对称性直接得出 $f_{y}^{\prime}(0,0) = f_{x}^{\prime}(0,0)$ 的结论。
接着验证是否可微：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$
若令 $\Delta y=\Delta x$, 则：
$$
\frac{(\Delta x)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}=\frac{1}{2} \neq 0
$$
上面的计算步骤只是一个特例，事实上：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\Delta y = k \Delta x \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot k \Delta x}{(\Delta x)^{2}+(k \Delta x)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{k (\Delta x)^{2}}{(1+k^{2}) (\Delta x)^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}} \ neq 0
$$
综上可知，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微。
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特别专题
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判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！
一、前言
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0})$ 以及 $f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0})$ 都存在，且下面这个式子的极限值为零，则表明该该二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微：
$$
\textcolor{orange}{
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0}) \Delta x + f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}
}
$$
但是，上面这个式子你能记住吗？
其实，你已经记住上面这个式子了，不信就继续看下文吧。
继续阅读“判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！”二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换
一、题目
$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换”什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时
一、题目
二元函数 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
难度评级：
继续阅读“什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时”怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法
一、题目
二元函数 $f(x, y)=\begin{cases}
& \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\
& 0, & (x, y)=(0,0)
\end{cases}$, 在点 $(0,0)$ 处是否连续？$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是否存在？
难度评级：
继续阅读“怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法”这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？
一、题目
已知函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=?$
难度评级：
继续阅读“这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？”一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程
一、题目
初值问题 $\left\{\begin{array}{l}1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime}, \\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1\end{array}\right.$ 的特解是（）
难度评级：
继续阅读“一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程”