分类： 考研数学

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$$\exp (x)$$

继续阅读“考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, $\left\{{\alpha }_n\right\}$ 与 $\left\{{\beta }_n\right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x_0+{\alpha }_n)–f\left(x_0–{\beta }_n\right)}{{\alpha }_n+{\beta }_n}$$

难度评级：

继续阅读“没说邻域内可导不能用洛必达法则”

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x_0)\\ \\ & =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

继续阅读“借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善”

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\left[{(1+\frac{1}{n})}^n–\mathrm{e}\right]=?$$

难度评级：

继续阅读“证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

继续阅读“连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理”

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$$F(x)={\int }_0^{x}g(x)\cdot f(t)\mathrm{d}t$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”