切比雪夫不等式的含义及其可视化

一、前言

切比雪夫不等式（又称：切贝雪夫不等式，英文名称：chebyshev’s theorem）在概率论与数理统计中这门课程中是一个非常重要的概念，该不等式在大数定理中也发挥着重要的作用。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过直观的文字与图形化解释，帮助同学们更好地理解切比雪夫不等式。

二、正文

首先来看切比雪夫不等式的表达形式——

若令随机变量 $\xi$ 的方差为 $Var[\xi]$, 数学期望为 $E[\xi]$, 且随便变量的方差和数学期望都是有限的，则对任意的 $k > 0$, 对应的切比雪夫不等式为：

$$
P \{ |\xi – E[\xi]| \geqslant k \} \leqslant \frac{Var[\xi]}{k^{2}}
$$

或者：

$$
P \{ |\xi – E[\xi]| < k \} \geqslant 1 – \frac{Var[\xi]}{k^{2}}
$$

切比雪夫不等式说的是，一个随机变量落在靠近数学期望附近的可能性比落在远离数学期望附近的可能要高。

其中 $|\xi – E[\xi]|$ $\geqslant$ $k$ 或者说 $|\xi – E[\xi]|$ $<$ $k$ 就是在表示随机变量 $\xi$ 与数学期望 $E[\xi]$ 之间的距离，很显然，由于方差 $Var[\xi]$ 是一定的，所以，随机变量 $\xi$ 与数学期望 $E[\xi]$ 之间的距离 $k$ 越大，则可能发生的概率 $\frac{Var[\xi]}{k^{2}}$ 就越小；反之，如果随机变量 $\xi$ 与数学期望 $E[\xi]$ 之间的距离 $k$ 越小，则可能发生的概率 $1 – \frac{Var[\xi]}{k^{2}}$ 就越大。

此外，如果我们想让切比雪夫不等式看上去更简洁一些，则可以用 $\sigma^{2}$ 表示方差，用 $\mu$ 表示数学期望，则随机变量 $X$ 对应的切比雪夫不等式为：

$$
P (|X – \mu| \geqslant k ) \leqslant \frac{\sigma^{2}}{k^{2}}
$$

或者：

$$
P (|X – \mu| < k ) \geqslant 1 – \frac{\sigma^{2}}{k^{2}}
$$

如果我们令直角坐标系的横轴为 $k$（设定这里的 $k$ 可以小于 $0$）, 纵轴为概率 $P$, 坐标原点为数学期望 $\mu$, 则根据方差 $\sigma^{2}$ 的不同，我们可以得到如下三种描述随机事件落点的概率与数学期望之间距离的图像：

可以看到，越靠近数学期望，则发生的可能性也就越大，而这就是切比雪夫不等式所要表达的含义。

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