一、前言 
通过本文中，我们将解决下面的问题：
- 什么样的矩阵可以做加减运算？
- 实际矩阵的加减运算怎么做？
- 抽象矩阵的加减运算有哪些定理？
分类： 考研数学
当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组
一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$ 是 $3$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol { \alpha }$ $=$ $( – 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 满足 $( \boldsymbol { A } – 2 \boldsymbol { E } ) \boldsymbol { \alpha }$ $=$ $0$, 且 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $1$, 则方程组 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的基础解系为：
A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$
B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
难度评级：
解 题 思 路 简 图
graph TD
A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
C --> G;
G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]
继续阅读“当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组” 无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小
一、题目
已知，当 $x \rightarrow x_0$ 时, $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为 $\left(x-x_0\right)$ 的同阶无穷小, 则下列说法正确的是哪一个？
(A) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小
(B) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小
(C) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小
(D) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小
难度评级：
继续阅读“无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小”【乘除】运算可以看作是【加减】运算的“高量级进化体”
一、前言
在考研数学中，我们常常会遇到涉及无穷小或者无穷大等无穷量的运算，在这些运算中，加减法和乘除法对无穷小量或者无穷大量的影响效果是怎样的呢？哪些运算可以改变无穷小量或者无穷大量的量级？
在本文中，荒原之梦考研数学将对这些问题做一一的解答。
继续阅读“【乘除】运算可以看作是【加减】运算的“高量级进化体””小细节大应用：根号一般都是从“二次”开始计算的
一、题目
$I =$
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x}) (1- \sqrt[3]{\cos x}) \cdots (1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“小细节大应用：根号一般都是从“二次”开始计算的”低阶无穷小可以看作高阶无穷小的无穷大
一、题目
$I$ $=$
$\lim _{ x \rightarrow 0 }$ $\frac { x \sin x ^ { 2 } – 2 ( 1 – \cos x ) \sin x } { x ^ { 4 } }$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“低阶无穷小可以看作高阶无穷小的无穷大”无穷大转无穷小的一个常用策略：提取公因式构造分式
一、题目
$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \left(\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}}−\sqrt[6]{x^{6}−x^{5}}\right) \\
& = ?
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“无穷大转无穷小的一个常用策略：提取公因式构造分式”求极限的式子很复杂不知道怎么下手咋办：先看其“轮廓”
一、题目
$$
\begin{aligned}
& I \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}} \\
& = ?
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“求极限的式子很复杂不知道怎么下手咋办：先看其“轮廓””用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算
题目 01
$I$ $=$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})\left(3^{2 x}-1\right)}{\tan (\sin x) \ln (\cos 2 x)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算”函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦
一、题目
已知 $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
2-x, & x \leqslant 0 \\
2+x, & x>0
\end{cases}$, $f(x)$ $=$ $\begin{cases}
x^2, & x<0 \\
-x, & x \geqslant 0
\end{cases}$, 则：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} g[f(x)]=?
$$
难度评级：
继续阅读“函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦”求导符号的位置变了，含义很可能也就变了
一、前言
下面这两个式子有什么区别：
$$
[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]
$$
$$
[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将带你一探究竟！
继续阅读“求导符号的位置变了，含义很可能也就变了”考研数学中常见数学符号的含义
一、前言
在考研数学真题，以及一些参考资料中，出于表述的严谨性和习惯，我们常常会遇到一些数学符号。准确的理解和掌握这些数学符号的含义，对于打牢基础，在考场上不会“因小失大”而言非常重要。
在本文中，荒原之梦考研数学将把考研数学中常见的一些数学符号汇总在这里，希望帮助大家更好的掌握这部分内容。
继续阅读“考研数学中常见数学符号的含义”当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值
一、题目
设 $f ( x )$ $=$ $\left( x ^ { 2025 } – 1 \right) g ( x )$, 其中 $g ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g ( 1 )$ $=$ $1$, 则 $f^{ \prime } ( 1 )$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值”你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？
一、题目
设 $y$ $=$ $y ( x )$ 由 $\begin{cases} x = \int _ { 0 } ^ { t } 2 \mathrm { e } ^ { – u ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } u \\ \\ y = \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y ( x )$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？
难度评级：
继续阅读“你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？”这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？
一、题目
已知，区域 $D$ $=$ $\left\{ ( x , y ) \mid ( x – 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$, 则 $D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积是多少？
难度评级：
继续阅读“这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？”