分类： 考研数学

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：

$$
y^{(n)} = ?
$$

难度评级：

一、前言

三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

一、题目

请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：

$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$

难度评级：

一、题目

$$
K_{m} = \int_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x = ?
$$

其中，$m$ 为自然数。

难度评级：

一、题目

$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

一、题目

求下面函数的 $n$ 阶导数：

$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1}
\end{aligned}
$$

难度评级：

一、题目

$$
I = \int \frac{1}{x^{4} + 1} \mathrm{~d} x = ?
$$

一、题目

已知 $f(x,y,z)$ $=$ $\left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{1}{z}}$, 则：

$$
\mathrm{d} f(1,1,1) = ?
$$

难度评级：

题目一：两个变量的三元函数

已知函数 $u$ $=$ $f \left( x + y , x y , \frac { x } { y } \right)$, 求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2} }$, $\frac { \partial^{2} u }{ \partial x \partial y }$, $\frac{ \partial^{2} u }{\partial y^{2}}$.

其中，$f$ 具有二阶连续偏导数。

难度评级：

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x + 1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{2}} = ? \\ \\
I_{2} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{1}} = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：