分类： 考研数学

一、前言

我们知道，对不定积分的计算结果都要加上一个常数 $C$, 例如：

$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = Z(x) + C
$$

也就是说，无论是 $Z(x) + 1$, $Z(x) + 2$, 还是 $Z(x) + 100$ 都是不定积分 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 的计算结果.

那么，是否存在一些不定积分，其结果可以表示为两个不同的函数，并且这两个函数之间并不是相差一个常数的关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两个例子，来讨论一下这一问题.

继续阅读“同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结确定函数定义域时的一些常用约束条件，以及有关“变量表达式”的一些注意事项.

继续阅读“确定函数定义域时的一些常用约束条件”

一、题目

求解下面函数的定义域：

$$
f(x) = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}
$$

难度评级：

继续阅读“递进式的定义域判断方法”

一、前言

有些时候，当式子的底数和指数都含有变量的时候，就会难以直接进行求导运算. 此时，我们就可以先对原式取对数. 在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过例题为同学们讲解对数的这一使用方式.

继续阅读“取对数的好处：将底数上的变量移动到指数上”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$

继续阅读“为什么不能在加减法中做局部的变量替换？因为等价无穷小是基于乘除法定义的”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目，总结出以下两个有关自然对数 $\ln$ 的二级结论：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0; \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0, \quad (a > 0).
\end{aligned}
$$

继续阅读“由两道题得出的有关自然对数 $\ln$ 的两个二级结论”

一、题目

已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.

继续阅读“求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数”

一、前言

如果我们有一个数列如下：

$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$

那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：

$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$

类似地，如果我们有一个级数如下：

$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$

那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：

$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$

现在的问题是：

继续阅读“扩展数列或者级数的原则：一次是特例，两次成规律”

一、题目

已知，函数 $f(x, y)$ $=$ $\begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y)=(0, 0), \end{cases}$, 求 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$.

继续阅读“分段函数的偏导数要分段求解”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」会首先给同学们介绍一下常见的未定式、以及这些常见的未定式为什么可能存在极限值，还有为什么不存在 $0 – 0$ 型的未定式.

继续阅读“为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？”