考研数学 – 第 71 页

2026年考研数二第08题解析：置换矩阵、伴随矩阵

一、题目

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则（）

»A« $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵

»B« $\boldsymbol{A}^{-1}$ 为置换矩阵

»C« $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$

»D« $\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$

难度评级：

二、解析

传统解法

首先，根据《什么是置换矩阵？》这篇讲义，可设：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}
$$

接着，由初等矩阵的性质可知：

$$
\begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{\top} = \boldsymbol{E}_{ij} \\ \\
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} & = \left( \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \right) \\ \\
& = \left(\boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}\right)^{-1} \cdots \left(\boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}}\right)^{-1} \cdot \left(\boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}\right)^{-1} \\ \\
& = \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}
\end{aligned}
$$

因此可知，$\boldsymbol{A}^{-1}$ 仍为置换矩阵，B 选项正确.

此外，由伴随矩阵的运算性质可得：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1} = (-1)^{n} \boldsymbol{A}^{-1}
$$

即：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为偶数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$，且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵；

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为奇数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$, 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 不是置换矩阵.

因此，选项 A, 选项 C 和选项 D 都不完全正确.

峰式解法

由「荒原之梦考研数学」的《初等变换求逆法的形象理解》可知，从矩阵 $\boldsymbol{A}$ 到其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中，需要经过相对于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相反的初等变换，但由于从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到置换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的过程中只经过了对换操作，因此，从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中也只需要进行（相反的）对换操作，所以，逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是一个置换矩阵，B 选项正确.

由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 所以，$\boldsymbol{A}^{*}$ 和 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 之间是需要经过数乘运算的，虽然 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是置换矩阵，但只有当 $\begin{vmatrix}
A
\end{vmatrix} = 1$ 时，伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 才是置换矩阵，A 选项错误.

由于置换矩阵是由对换操作得到的，每进行一次对换操作，行列式的取值都要乘以 $-1$, 又由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 但是 $\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix}$ 的正负不确定，所以 C 选项和 D 选项都不正确.

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什么是置换矩阵？

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2026年考研数二第07题解析：二重积分转二次求和

一、题目

设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ $=$ ${ (x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1 }$ 上连续，且 $f(x,y)$ $=$ $f(y,x)$，则
$\iint \limits_{D} f(x,y) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$ $=$ $?$

»A« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=n+1-i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»B« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»C« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n+1-i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»D« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

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2026年考研数二第06题解析：变上限积分、反函数求导

一、题目

已知函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x^{3}} \frac{\mathrm{e}^{t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$，$f$ 的反函数为 $g$, 则（）

»A« $g(0)=1$, $g ^{\prime} (0) = \frac{3 \mathrm{e}}{2}$

»B« $g(0)=1$, $g ^{\prime} (0) = \frac{2}{3 \mathrm{e}}$

»C« $g(1)=0$, $g ^{\prime} (1) = \frac{3 \mathrm{e}}{2}$

»D« $g(1)=0$, $g ^{\prime} (1) = \frac{2}{3 \mathrm{e}}$

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2026年考研数二第05题解析：函数的单调性、函数的凹凸性

一、题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则下列说法正确的是（）

»A« 若 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,1]$ 上单调递增，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值.

»B« 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值，则 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,1]$ 上单调递增.

»C« 若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是凹函数，则 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 上单调递增.

»D« 若 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 上单调递增，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是凹函数.

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2026年考研数二第04题解析：定积分的物理应用

一、题目

设线密度为 $1$ 的细直棒的两个端点分别位于点 $\left( -1, 0 \right)$ 和点 $\left( 1, 0 \right)$ 处，质量为 $m$ 的质点位于点 $\left( 0, 1 \right)$ 处，$G$ 为引力常数，则该细直棒对该质点的引力大小为（）

»A« $\int_{0}^{1} \frac{2Gmx}{(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{~d}x$

»B« $\int_{0}^{1} \frac{2Gm}{(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{~d}x$

»C« $\int_{0}^{1} \frac{2Gmx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x$

»D« $\int_{0}^{1} \frac{2Gm}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x$

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化简行列式的两种方式：消零和拆项

一、题目

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{D}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1
\end{vmatrix} = ?
$$

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由方程式确定的隐函数求导公式的“实例递进式”推导

一、前言

对于一个二元隐函数（或者说二元方程式） $F(x, y) = 0$, $y = y(x)$ 而言，对 $x$ 求导（全导数）的公式的一般推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F \left( x, y \right)}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} \left( x, y \right) + F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} \left( x, y \right)}{F^{\prime}_{y} \left( x, y \right)}
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \neq 0$.

当然，我们也可以简写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} + F^{\prime}_{y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} }{F^{\prime}_{y} }
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \neq 0$.

此外，还可以写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- \partial F / \partial x }{ \partial F / \partial x }
\end{aligned}
$$

其中，$\frac{\partial F}{\partial x} \neq 0$.

可以看到，要理解上面的公式，最主要的就是要理解 $\frac{\partial F}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $0$ 这个式子是怎么来的.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一些实例，以递进式的方式，为同学们讲清楚上面这个式子的由来.

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全导数、偏导数和全微分的区别与联系

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将分别对全导数和偏导数之间的联系与区别，以及全导数和全微分之间的联系与区别做一个详细的阐释.

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使用韦达定理求解行列式的值

一、题目

计算行列式 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{D} \end{vmatrix}$ $=$ $\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix}$, 其中 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 是方程 $x^{3} + px + q$ $=$ $0$ 的三个根.

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