考研数学 – 第 123 页

微分中的 $\mathrm{d}$ 和 $\Delta$ 分别表示什么意思？[图解]

偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$（B012）

问题

已知函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 的某邻域内有定义，且以下选项中的极限均存在，则 $\frac{\partial z}{\partial x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\frac{\partial z}{\partial y}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow y}$ $\frac{f(x, y + \Delta y) – f(x, y)}{\Delta x}$

[B]. $\frac{\partial z}{\partial y}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow y}$ $\frac{f(x, y + \Delta y) + f(x, y)}{\Delta y}$

[C]. $\frac{\partial z}{\partial y}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow y}$ $\frac{f(x, y + \Delta y) – f(x, y)}{\Delta y}$

[D]. $\frac{\partial z}{\partial y}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow y}$ $\frac{f(x + \Delta + x, y) – f(x, y)}{\Delta x}$

答案

$\frac{\partial \textcolor{red}{z}}{\partial \textcolor{orange}{y}}$ $=$ $\lim_{\textcolor{yellow}{\Delta} \rightarrow \textcolor{orange}{y}}$ $\frac{f(\textcolor{cyan}{x}, \textcolor{orange}{y} + \textcolor{yellow}{\Delta} \textcolor{orange}{y}) – f(\textcolor{cyan}{x}, \textcolor{orange}{y})}{\textcolor{yellow}{\Delta} \textcolor{orange}{y}}$

偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$（B012）

问题

已知函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 的某邻域内有定义，且以下选项中的极限均存在，则 $\frac{\partial z}{\partial x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\frac{\partial z}{\partial x}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow x}$ $\frac{f(x + \Delta x, y) – f(x, y)}{x}$

[B]. $\frac{\partial z}{\partial x}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow x}$ $\frac{f(x, y + \Delta y) – f(x, y)}{\Delta x}$

[C]. $\frac{\partial z}{\partial x}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow x}$ $\frac{f(x + \Delta x, y) + f(x, y)}{\Delta x}$

[D]. $\frac{\partial z}{\partial x}$ $=$ $\lim_{\Delta \rightarrow x}$ $\frac{f(x + \Delta x, y) – f(x, y)}{f(x, y)}$

答案

$\frac{\partial \textcolor{red}{z}}{\partial \textcolor{orange}{x}}$ $=$ $\lim_{\textcolor{yellow}{\Delta} \rightarrow \textcolor{orange}{x}}$ $\frac{f(\textcolor{orange}{x} + \textcolor{yellow}{\Delta} \textcolor{orange}{x}, \textcolor{cyan}{y}) \textcolor{yellow}{-} f(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{cyan}{y})}{\textcolor{yellow}{\Delta} \textcolor{orange}{x}}$

空间曲线在 $zOx$ 平面上的投影曲线的方程（B011）

问题

已知空间曲线 $L$ 的一般方程为 $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$, 则该曲线在空间直角坐标系的 $zOx$ 平面上的投影曲线的方程该如何表示？

选项

[A]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $y$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} T(x, z)=y \\ y=0 \end{array}\right.$

[B]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $z$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} T(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$

[C]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $y$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} T(x, z)=0 \\ y=0 \end{array}\right.$

[D]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $x$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} T(y, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right.$

答案

$\left\{\begin{array}{l} F(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{y}, \textcolor{cyan}{z})=0 \\ G(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{y}, \textcolor{cyan}{z})=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $\textcolor{cyan}{y}$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} T(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{z})=0 \\ \textcolor{cyan}{y}=\textcolor{red}{0} \end{array}\right.$

空间曲线在 $yOz$ 平面上的投影曲线的方程（B011）

问题

已知空间曲线 $L$ 的一般方程为 $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$, 则该曲线在空间直角坐标系的 $yOz$ 平面上的投影曲线的方程该如何表示？

选项

[A]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $x$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} R(y, z)=x \\ x=0 \end{array}\right.$

[B]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $y$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} R(x, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right.$

[C]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $x$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} R(y, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right.$

[D]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $x$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} R(y, z)=0 \\ x=1 \end{array}\right.$

答案

$\left\{\begin{array}{l} F(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{y}, \textcolor{cyan}{z})=0 \\ G(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{y}, \textcolor{cyan}{z})=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $\textcolor{cyan}{x}$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} R(\textcolor{orange}{y}, \textcolor{orange}{z})=0 \\ \textcolor{cyan}{x}=\textcolor{red}{0} \end{array}\right.$

空间曲线在 $xOy$ 平面上的投影曲线的方程（B011）

问题

已知空间曲线 $L$ 的一般方程为 $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$, 则该曲线在空间直角坐标系的 $xOy$ 平面上的投影曲线的方程该如何表示？

选项

[A]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $y$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} H(x, z)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$

[B]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $z$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} H(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$

[C]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $z$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} H(x, y)=z \\ z=0 \end{array}\right.$

[D]. $\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $y$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} H(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$

答案

$\left\{\begin{array}{l} F(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{y}, \textcolor{cyan}{z})=0 \\ G(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{y}, \textcolor{cyan}{z})=0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow$ 消去 $\textcolor{cyan}{z}$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} H(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{orange}{y})=0 \\ \textcolor{cyan}{z}=\textcolor{red}{0} \end{array}\right.$

特殊的双叶双曲面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [特殊的双叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $-1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{a^{2}}$ $=$ $-1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $-1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{-1}$

特殊的单叶双曲面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [特殊的单叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

答案

圆抛物面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [圆抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $z$ $=$ $0$

答案

球面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [球面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{a^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{a^{2}}$ $=$ $-1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{a^{2}}$ $=$ $0$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{1}$

类球面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [类球面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{1}$

双叶双曲面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [双叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $-1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{a^{2}}{c^{2}}$ $=$ $-1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{c}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{-1}$

单叶双曲面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [单叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $0$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{c}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{1}$

双曲抛物面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [双曲抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $z$ $=$ $0$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\textcolor{orange}{z}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

椭圆抛物面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [椭圆抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $z$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\textcolor{orange}{z}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$