分类： 线性代数

题目

编号：A2016222

设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1-a\\
1 & 0 & a\\
a+1 & 1 & a+1
\end{bmatrix}$, $\beta = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
2a-2
\end{bmatrix}$, 且方程组 $Ax = \beta$ 无解.

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 求方程组 $A^{\top} A x = A^{\top} \beta$ 的通解.

题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & a
\end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$, $b$ 的值；

$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.

题目

设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
a & 1 & 0\\
1 & a & -1\\
0 & 1 & a
\end{bmatrix}$, 且 $A^{3} = O$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 若矩阵 $X$ 满足 $X -$ $XA^{2} -$ $AX +$ $AXA^{2} =$ $E$, 其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，求 $X$.

题目

设 $A=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3 & -4\\
0 & 1 & -1 & 1\\
1 & 2 & 0 & -3
\end{bmatrix}$, $E$ 为三阶单位矩阵.

$(Ⅰ)$ 求方程组 $AX=0$ 的一个基础解系.

$(Ⅱ)$ 求满足 $AB=E$ 的所有矩阵 $B$.

题目

设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=$ $2(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3})^{2} +$ $(b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3})^{2}$,

记 $\alpha=\begin{bmatrix}
a_{1}\\
a_{2}\\
a_{3}
\end{bmatrix}$, $\beta=\begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$,

$(Ⅰ)$ 证明：二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2\alpha \alpha ^{\top}+\beta \beta ^{\top}$

$(Ⅱ)$ 若 $\alpha$, $\beta$ 正交且均为单位向量，证明：$f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$.

题目

设 $A=\begin{bmatrix}
1 & a\\
1 & 0
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & b
\end{bmatrix}$,

当 $a$, $b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $AC-CA=B$, 并求所有矩阵 $C$.

题目

已知：

$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & a\\
0 & a & -1
\end{bmatrix},
$$

二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=X^{\top}(A^{\top}A)X$ 的秩为 $2$.

$(Ⅰ)$ 求实数 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 求正交变换 $x=Qy$, 将 $f$ 化为标准形。

题目

设：

$$
A=\begin{bmatrix}
1 & a & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 0\\
0 & 0 & 1 & a\\
a & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$

$$
\beta=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$

$(Ⅰ)$ 计算行列式 $|A|$.

$(Ⅱ)$ 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解，并求其通解。