线性代数归档 - 第37页共41页

问题

当行列式中某两行或两列元素成比例时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式不等于

1

[B]. 该行列式不等于

0

[C]. 该行列式等于

1

[D]. 该行列式等于

0

答案

该行列式等于 $0$

问题

当行列式中某两行或两列元素相同时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式不等于

0

[B]. 该行列式等于

1

[C]. 该行列式等于

0

[D]. 该行列式不等于

1

答案

该行列式等于 $0$

问题

当行列式中某一行或者某一列的元素全为

0

的时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式等于

1

[B]. 该行列式等于

0

[C]. 该行列式不等于

1

[D]. 该行列式不等于

0

答案

该行列式等于 $0$

问题

如果，行列式中某一行或者某一列的元素可以写成两数之和的形式，如：

$| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ .

则，根据行列式的性质，可以对上面的行列式做什么样的转换？

选项

[A].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

\times

| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

[B].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

-

| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

[C].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

+

| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

[D].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} \frac{1}{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

+

| \begin{array}{lll} \frac{1}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{b_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

答案

$| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ $=$ $| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ $+$ $| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$

常数公因子 $k$ 在行列式中的处理方式（C001）

问题

若行列式的某行或列有公因子

k

, 则以下对该公因子的处理方式中，正确的是哪个？

选项

[A].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

k

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

[B].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

- k

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

[C].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

k^{n}

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

[D].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

\frac{1}{k}

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

答案

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $=$ $k$ $| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

行列式与转置行列式之间的关系（C001）

问题

已知，

D

为行列式，

D^{T}

为该行列式的转置行列式。

则， $D$ 与 $D^{T}$ 之间的关系是什么？

选项

[A].

D

\neq

D^{T}

[B].

D

=

- D^{T}

[C].

D

=

D^{T}

[D].

D

=

2 D^{T}

答案

$D$ $=$ $D^{T}$

2018年考研数二第23题解析：矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵

题目

已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & - a \end{matrix}]$ 可经初等列变换化为矩阵 $B = [\begin{matrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$ .

$(Ⅰ)$ 求 $a$ ;

$(Ⅱ)$ 求满足 $A P = B$ 的可逆矩阵 $P$ .

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2018年考研数二第22题解析：二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型

题目

设实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $(x_{1} - x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{1} + a x_{3})^{2}$ , 其中 $a$ 是参数.

$(Ⅰ)$ 求 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0$ 的解;

$(Ⅱ)$ 求 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 的规范型.

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2017年考研数二第23题解析：二次型、标准型、特征值与特征向量

题目

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2 x_{1}^{2} -$ $x_{2}^{2} +$ $a x_{3}^{2} +$ $2 x_{1} x_{2} -$ $8 x_{1} x_{3} +$ $2 x_{2} x_{3}$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准型为 $λ_{1} y_{1}^{2} +$ $λ_{2} y_{2}^{2}$ , 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$ .

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2017年考研数二第22题解析：特征值、基础解系、非齐次线性方程组

题目

设 $3$ 阶矩阵 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 有 $3$ 个不同的特征值，且 $α_{3} = α_{1} + 2 α_{2}$ .

$(Ⅰ)$ 证明 $r (A) = 2$ ;

$(Ⅱ)$ 若 $β = α_{1} + α_{2} + α_{3}$ , 求方程组 $A x = β$ 的通解.

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2016年考研数二第23题解析：相似对角化、特征值、特征向量、线性表示

题目

编号：A2016223

已知矩阵 $A = [\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ .

$(Ⅰ)$ 求 $A^{99}$ ;

$(Ⅱ)$ 设 $3$ 阶矩阵 $B = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 满足 $B^{2} = B A$ . 记 $B^{100} = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ , 将 $β_{1}$ , $β_{2}$ , $β_{3}$ 分别表示为 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 的线性组合.

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2016年考研数二第22题解析：非齐次线性方程组、增广矩阵

题目

编号：A2016222

设矩阵 $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 - a \\ 1 & 0 & a \\ a + 1 & 1 & a + 1 \end{matrix}]$ , $β = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 a - 2 \end{matrix}]$ , 且方程组 $A x = β$ 无解.

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 求方程组 $A^{⊤} A x = A^{⊤} β$ 的通解.

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2015年考研数二第23题解析：相似矩阵、矩阵的相似对角化

题目

设矩阵 $A = [\begin{matrix} 0 & 2 & - 3 \\ - 1 & 3 & - 3 \\ 1 & - 2 & a \end{matrix}]$ 相似于矩阵 $B = [\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}]$ .

$(Ⅰ)$ 求 $a$ , $b$ 的值；

$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$ , 使 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵.

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2015年考研数二第22题解析：矩阵、逆矩阵

题目

设矩阵 $A = [\begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & - 1 \\ 0 & 1 & a \end{matrix}]$ , 且 $A^{3} = O$ .

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 若矩阵 $X$ 满足 $X -$ $X A^{2} -$ $A X +$ $A X A^{2} =$ $E$ , 其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，求 $X$ .

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2014年考研数二第22题解析：齐次与非齐次线性方程组求解

题目

设 $A = [\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 3 \end{matrix}]$ , $E$ 为三阶单位矩阵.

$(Ⅰ)$ 求方程组 $A X = 0$ 的一个基础解系.

$(Ⅱ)$ 求满足 $A B = E$ 的所有矩阵 $B$ .

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分类：线性代数

行列式中某两行或两列元素成比例时的性质（C001）

问题

选项

行列式中某两行或两列元素相同时的性质（C001）

问题

选项

行列式中某一行或列元素全为零时的性质（C001）

问题

选项

行列式的可拆分性（C001）

问题

选项

常数公因子 $k$ 在行列式中的处理方式（C001）

问题

选项

行列式与转置行列式之间的关系（C001）

问题

选项

2018年考研数二第23题解析：矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵

题目

2018年考研数二第22题解析：二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型

题目

2017年考研数二第23题解析：二次型、标准型、特征值与特征向量

题目

2017年考研数二第22题解析：特征值、基础解系、非齐次线性方程组

题目

2016年考研数二第23题解析：相似对角化、特征值、特征向量、线性表示

题目

2016年考研数二第22题解析：非齐次线性方程组、增广矩阵

题目

2015年考研数二第23题解析：相似矩阵、矩阵的相似对角化

题目

2015年考研数二第22题解析：矩阵、逆矩阵

题目

2014年考研数二第22题解析：齐次与非齐次线性方程组求解

题目