分类： 高等数学

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \left[ \frac{1}{x} \right] = ?
$$

其中，$\left[ \frac{1}{x} \right]$ 表示的是对 $\frac{1}{x}$ 进行取整的操作.

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!} = ?
$$

难度评级：

一、前言

常考的高阶导数一般都是有规律的，掌握下面这些高阶导数公式，可以让我们在求解涉及高阶导数的题目时更加灵活有效。

一、题目

已知：

$$
y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}
$$

求 $y^{\prime}$.

难度评级：

一、前言

熟练掌握本文中的基本极限，不仅可以提升解题速度，还可以增加对无穷量的理解，使得解题过程更加灵活。

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}} \Big) = ?
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$

其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}} = ?
$$

其中，$x$ $>$ $0$.

对变量取值范围的讨论是解答本题的重点，详情见下文……

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} = ?
$$

本题可以使用夹逼准则解出，下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )^{\frac{1}{x}} = ?
$$

难度评级：

一、前言

在高等数学中，有些公式在本质上是有联系的，如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式，就能记忆得更加牢固。

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小。

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} = ?
$$

其中，$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} = ?
$$

难度评级：