高等数学归档 - 第4页共120页 - 荒原之梦

平均值不等式的详细证明过程

一、前言

已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

幂指函数的求导策略：什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”？什么时候用“$\ln$ 落下”？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：

$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$

对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则”

一、前言

在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。

但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。

Note

换句话说，所谓“对等原则”要解决的问题就是：对等式两边取对数，是对整体“取”，还是各项“取”？
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关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称

一、题目

荒原之梦考研数学

计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$ 和 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}$:

$$
\begin{aligned}
⟬A⟭. \quad z(x, y) = \ & x ^{2} + y^{2} – 3 x^{4} y^{4} \\ \\
⟬B⟭. \quad z(x, y) = \ & \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}
\end{aligned}
$$

难度评级：

对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数

一、题目

荒原之梦考研数学

已知：

$$
y = \log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)
$$

则：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = ?
$$

Tip

$y$ $=$ $\log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1-x}}$
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难度评级：

考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “$ax$ $+$ $b$” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。

求导去积分符号，积分去求导符号

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{ -f(t) } \mathrm{~d} t$, 则当 $n$ $\geqslant$ $2$ 时：

$$
f^{(n)}(0) = ?
$$

难度评级：

考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。

自然常数 e 的那些事

自然常数 e 的那些事 | 荒原之梦考研数学 | 图 01.
原始文件作者：Cronholm144, 原始文件授权协议：知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议。 — 图 01. 图中绿色部分的面积刚好是 $\mathrm{e}$, 因为，当 $x = \mathrm{e}$ 的时候，$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t$ $=$ $1.$

这道题目看似很简单，但全身都是“坑”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 连续，且：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3
$$

则：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = ?
$$

难度评级：

数字零和极限零有什么区别？

一、前言

在高等数学的学习中，我们会遇到两种“零”：等于零（$= 0$）和趋于零（$\rightarrow 0$）。

那么，在计算的时候，这两种“零”有哪些不同点和相同点呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。

封闭曲线的弧长不一定是周长

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $0$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $3 \pi$, 且：

$$
r(\theta) = \left( \sin \frac{\theta}{3} \right) ^{3}
$$

则曲线 $r(\theta)$ 的弧长是多少？

有时候，曲线 $r(\theta)$ 的极坐标方程也写作：$r(\theta)$ $=$ $\sin ^{3} \frac{\theta}{3}$.

难度评级：

积分上限和积分下限相等的定积分一定等于零

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $c > 0$ 为常数，且：

$$
f(x) = \int_{c ^{2}}^{x ^{2}} \frac{\sin k}{k} \mathrm{~d} k
$$

则：

$$
I = \int_{0}^{c} x f(x) \mathrm{~d} x
$$

难度评级：

一重积分的问题用二重积分求解

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $y ^{\prime} (x)$ $=$ $\arctan (1 – x)^{2}$, $y(0)$ $=$ $1$, 则：

$$
I = \int_{0}^{1} y(x) \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：