区间再现的强大之处在于，可以在【不改变】原有积分的【积分区间】的基础上，实现对被积函数的变形转化——这实际上就是利用原有被积函数的对称性，实现了【平移】。
有些时候，当我们对一个定积分题目无从下手时，试试区间再现，可能会有意想不到的效果。
总的来说，就是当我们要求解 $I = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 时，通过变形将 $I$ 转换为 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{~d} x$ 的形式，这样一来就有：
$$
I = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] \mathrm{~d} x
$$
已知，通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$, 则此曲线的方程是多少？
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继续阅读“不能用公式也不能降阶的微分方程怎么计算？可以尝试进行变量分离——但如果变量分离不了呢？那就先对影响分离的部分作整体代换”已知，$a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$, $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x)$ $\quad (x \in[0,+\infty))$ 的解，则：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=?
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=?
$$
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继续阅读“对于二阶常系数非齐次微分方程，当需要直接求函数解时可以用公式法，当需要用到中间的某些量时可以用常数变易法”已知，$u$ $=$ $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 其中，$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0$ 有二阶连续的偏导数，且满足：
$$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$$
则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=?$
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继续阅读“以复合函数为桥梁，将“偏导”变为“导”，进而转化为微分方程”已知，$y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0)$ $=b$ 的特解，其中 $m>n>0$, 则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=?$
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继续阅读“无论什么样的二阶微分方程问题，先求解特征根总没错”已知，$y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}$, $y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，请确定此微分方程的形式。
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继续阅读“你知道怎么确定已知解的哪部分是非齐次微分方程的特解吗？”已知，连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t$ $=$ $x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)=?$
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继续阅读“遇到负号一定要慎之又慎：千万不要心算，要写出来算！”方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足条件 $y(0)=3$, $y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $Y=?$
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继续阅读“二阶非齐次微分方程满足一定条件特解的计算步骤你还记得吗？”微分方程 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$, $y^{\prime}(0)=-1$ 的特解是多少？
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继续阅读“可降解的微分方程的主要特征：式子中没有 x”微分方程 $(x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解是多少？
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继续阅读“在一阶微分方程中，哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理”已知，$g(x)$ 有连续的导数, $g(0)=0$, $g^{\prime}(0)=a \neq 0$, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连
续，则 $\lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=?$
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继续阅读“积分中值定理在二重积分中的应用”已知，$f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)$ $=$ $x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$, 其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x= 1$ 所围区域，则 $f(x, y)=?$
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继续阅读“当被积函数可以分离的时候，四重积分就是两个二重积分的积”已知，$g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=0$, $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1012$, 则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t = ?$
Note
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[01] .《反函数的性质汇总》
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继续阅读“反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 x”在《求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）》这篇文章中，我们掌握了什么是反函数，以及反函数求导的方法。
那么，反函数都有着怎样的性质呢？在这篇文章中，就让我们一探究竟。
继续阅读“反函数的性质汇总”我们知道，函数的导数等于其对应的反函数导数的倒数，即：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}}
$$
但是，你真的会利用上面的性质计算反函数的导数吗？
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