分类： 高等数学

八、证明题 (本题满分 9 分)

设 $f^{\prime \prime}(x)<0, f(0)=0$, 证明对任何 $x_{1}>0, x_{2}>0$, 有 $f\left(x_{1}+x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)$.

方法一（构造函数）：

本题其实就是要证明，当 $x>0$ 时，下式的成立性：

$$
f\left(x_{1}+x\right)<f\left(x_{1}\right)+f(x)
$$

因此，构造函数：

$$
\varphi(x)=f(x)+f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{1}+x\right)
$$

于是就是要证明 $\varphi(x)>0$

又：

$$
\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{1}+x\right)
$$

又：

$$
f^{\prime \prime}(x)<0
$$

因此，当 $x>0$ 时：

$$
f^{\prime}\left(x_{1}+x\right)0
$$

又：

$$
\varphi(0)=f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{1}\right)=0, \ f(0)=0
$$

因此：

$$
\varphi(x)>0
$$

方法二（拉格朗日）：

$$
\xi_{1} \in\left(0, x_{1}\right) \Rightarrow \frac{f\left(x_{1}\right)-f(0)}{x_{1}-0}=f^{\prime}\left(\xi_{1}\right) \Rightarrow
$$

$$
f(0)=0 \Rightarrow f\left(x_{1}\right)=x_{1} f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)
$$

又：

$$
\xi_{2} \in\left(x_{1}, x_{2}\right) \Rightarrow \frac{f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}}=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)=x_{1} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)
$$

又：

$$
f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)<0 \Rightarrow f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)<f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)
$$

因此：

$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right) \Rightarrow
$$

$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)
$$

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八、计算题 (本题满分 9 分)

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足 $f(x)=f(x-\pi)+$ $\sin x$, 且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$, 计算 $\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.

$$
\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2 \pi} f(x-\pi) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{2 \pi}[f(x)-\sin x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{2 \pi}[f(x)-\sin x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{\pi} f(x-\pi) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{\pi}[f(x)-\sin x] \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
2 \int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.x^{2}\right|_{0} ^{\pi}-\left.\cos x\right|_{\pi} ^{2 \pi}=\pi^{2}-2
$$

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八、解答题 (本题满分 9 分)

求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{a x}$ 的通解, 其中 $a$ 为实数.

齐通：

$$
\lambda^{2}+4 \lambda+4=0 \Rightarrow \lambda=\frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=\lambda_{2}=-2 .
$$

$$
y^{*}=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-2 x}
$$

非奇特设为：

$$
Y^{*}=x^{k}(A) e^{a x}
$$

当 $a \neq-2$ 时：

$$
Y^{*}=A e^{a x} \Rightarrow
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=a A e^{a x} \quad \left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=a^{2} A e^{a x}
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}+4\left(Y^{*}\right)^{\prime}+4\left(Y^{*}\right)=e^{a x} \Rightarrow
$$

$$
a^{2} A+4 a A+4 A=1 \Rightarrow
$$

$$
A = \frac{1}{(a+2)^{2}}
$$

当 $a=-2$ 时：

$$
Y^{*}=A x^{2} e^{a x}=A x^{2} e^{-2 x}
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=A\left(2 x e^{a x}+a x^{2} e^{a x}\right) .
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=A\left(2 e^{a x}+2 a x e^{a x}+2 a x e^{a x}+\right. \left.a^{2} x^{2} e^{a x}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}+4\left(Y^{*}\right)^{\prime}+4\left(Y^{*}\right)=e^{a x} \Rightarrow
$$

$$
A\left(2+2 a x+2 a x+a^{2} x^{2}\right)+4 A\left(2 x+a x^{2}\right)+
$$

$$
4 A x^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
A\left(2-8 x+4 x^{2}+8 x-8 x^{2}+4 x^{2}\right)=1 \Rightarrow
$$

$$
2 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}
$$

$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-2 x}+\frac{1}{(x+2)^{2}} e^{a x}, x \neq-2 \\ \left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-2 x}+\frac{1}{2} x^{2} e^{-2 x}, x=-2
\end{array}\right.
$$

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