高等数学

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{\sin x}{x \sin x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – \ln(1+x)}{x\sin x} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\right]-\left[x-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})\right]}{x^{2}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}} \\ \\
= \ & \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

2026年考研数二第11题解析：反常积分的敛散性判断

一、题目

设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{p} (x+1)} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是__

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反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导的方式，对形如 $\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x$, $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x$ 这样的反常积分的敛散性进行证明.

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谁是无穷小量？

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，下面为无穷小量的式子是（）

»A« $\dfrac{x + \cos x}{x}$

»B« $\dfrac{\sin x}{x}$

»C« $\dfrac{1}{2^{x} – 1}$

»D« $\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}$

难度评级：

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等价无穷小的“串联”使用

题目 1

$$
I_{1} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x \cos 2x}{x^{2}} = ?
$$

解析 1

根据常用的等价无穷小公式，我们有：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x + \cos x – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \cos x \frac{1 – \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \left( 2x \right)^{2}}{x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{2} + 2 \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{5}{2} }
\end{aligned}
$$

题目 2

$$
I_{2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – x \cos x}{x^{3}} = ?
$$

解析 2

根据常用的等价无穷小公式，我们有：

$$
\begin{aligned}
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x + \sin x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{\sin ^{3} x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\tan k – k}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} k^{3}}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{5}{6} }
\end{aligned}
$$

题目 3

根据常用的等价无穷小公式，我们有：

$$
I_{3} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \arcsin x}{x^{3}} = ?
$$

解析 3

$$
\begin{aligned}
I_{3} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x + \sin x – x + x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{\sin ^{3} x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\tan k – k}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} k^{3}}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{6} x^{3}}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{6} x^{3}}{x^{3}} \\ \\
& = \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{6} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 0 }
\end{aligned}
$$

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

2026年考研数二第07题解析：二重积分转二次求和

一、题目

设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ $=$ ${ (x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1 }$ 上连续，且 $f(x,y)$ $=$ $f(y,x)$，则
$\iint \limits_{D} f(x,y) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$ $=$ $?$

»A« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=n+1-i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»B« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»C« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n+1-i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»D« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

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