分类： 高等数学

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目给同学们展示一下如何将“求和”转为“积分”，内容涵盖考研数学中常考的一重求和转一重积分，以及二重求和转二重积分.

继续阅读“单重求和转一重积分，双重求和转二重积分”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用反证法证明“收敛级数和发散级数相加所得的级数一定发散”这一结论.

继续阅读“收敛级数和发散级数相加所得的级数一定发散”

一、前言

如果我们有两个收敛级数（绝对收敛或者条件收敛），那么，他们相加所得的级数会具有什么性质呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过分类讨论的方式给同学们讲解清楚这一问题.

继续阅读“收敛级数的加法运算性质”

一、前言

我们知道，数字的加法是满足交换律与结合律的，事实上，向量的加法也满足交换律与结合律.

但是，由于向量比数字更加复杂一些，所以，我们可能难以直接感受到向量所具有的满足交换律与结合律的性质.

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，以及原创的基于圆形的证明，让同学们对向量的交换律与结合律有一个直观的理解.

继续阅读“向量加法满足交换律与结合律的图形证明”

一、前言

要讨论收敛是绝对收敛还是条件收敛，我们首先要明确的是：谁收敛？

在考研数学中，可能具有收敛属性的主要概念为：级数、反常积分、数列和函数.

在本文中，我们将围绕这一问题，做一个清晰的分类探讨.

继续阅读“平时所说的收敛是绝对收敛还是条件收敛？”

一、前言

数列和级数是一个常常出现在一起的概念，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解数列与级数的区别和联系.

继续阅读“数列和级数的区别与联系”

一、题目

继续阅读“两个收敛的级数逐项交替合并（隔项合并）后得到的级数也收敛”

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性》中，我们基于向量的视角研究了数列相加或者相减前后所表现出来的敛散性，并总结出了数列相加减的三角形定理和平行四边形定理.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的研究基础，继续借助向量语言，研究数列隔项合并之后的敛散性.

继续阅读“借助向量工具研究数列隔项合并之后的敛散性”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“向量”这一工具，研究不同敛散性的两个数列相加或者相减之后所得数列的敛散性. 通过本文中基于向量对这一问题所进行的研究可以非常直观的看到加减运算对数列敛散性所产生的影响，并且可以根据三角形和平行四边形的几何特性对这些结论进行进一步的凝练总结.

继续阅读“借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?
$$

继续阅读“提取公因式的时候别被根号迷惑了”

一、题目

已知 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^{3}} = 0$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6 + f(x)}{x^{2}} = ?$

继续阅读“借助极限与无穷小的关系求解极限”

一、题目

已知 $a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n} \right) \sin \frac{n \pi}{2}$, 请证明数列 ${ a_{n} }$ 没有极限（发散）.

继续阅读“要使含有三角函数的数列的子列存在极限，则步长需要是三角函数周期的整数倍”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们总结和扩展一下常见级数的敛散性。

继续阅读“常见级数的敛散性（扩展版）”

一、题目

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} = 2$, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = ?$

继续阅读“一种展示数列变化并进行计算的图形绘制方法”

一、前言

一阶线性微分方程的求解公式一般都是用不定积分表示的，虽然这样的表达形式在很多情况下都适用，但在某些特殊情况下，我们则需要将公式中的部分不定积分更改为变限积分.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们深入剖析一下将一阶线性微分方程中的部分不定积分写成变限积分的用途和原理，以及注意事项。

继续阅读“在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分”