荒原之梦 – 第 3 页

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们介绍一类特别的矩阵：正交矩阵.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一个特别设计的矩阵 $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$ 来给同学们讲清楚什么是矩阵乘法中的“左行右列”性质.

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」就来讨论一下高等数学中会遇到的三种取整运算：取整、上取整、下取整.

在本文中，我们：
用 “$\left[ x \right]$” 表示对 $x$ 做取整操作；
用 “$\lceil x \rceil$” 表示对 $x$ 做上取整操作；
用 “$\lfloor x \rfloor$” 表示对 $x$ 做下取整操作.

二、正文

在本文的前言部分，我之所以强调我们现在所讨论的取整、上取整和下取整运算是“高等数学”中的，是因为，在其他领域的语境下，“取整”运算指的是“四舍五入”运算，也就是说，在高等数学之外的领域，对 “$5.1$” 做取整操作，得到是 “$5$”, 而对 “$5.7$” 做取整操作，得到的是 “$6$”——

但是，在高等数学中，“ 取整 ”运算等同于“ 下取整 ”运算，即“将一个实数舍为最接近的整数 ”：

$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 5 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 5
\end{aligned}
$$

同时，在高等数学中，“ 上取整 ”运算，即“将一个实数进为最接近的整数 ”：

$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 6 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 6
\end{aligned}
$$

三、例题

《用夹逼准则求解取整函数的极限》

峰说 | “表象”可能摧毁整个科学大厦

声明：本文只是一个没有绝对依据的思想实验，不构成任何建议，请继续相信，并热爱生活。

试想一下，如果我们所观察到的世界，包括各种物理、化学和生物现象都只是一种与“现实”有着巨大差异的“表象”，所谓的作用力、细胞和粒子等本身都是虚拟的，那么，我们至今耗费几代人构建起来的科学大厦，是否会在某个时刻轰然倒塌？

或者说，假如我们生活在一个充满“屏幕”的世界中，我们所感知的到所有信息都来自“屏幕”，那么，我们能够通过对这块屏幕中所显示的信息的研究来获知屏幕背后的运行原理吗——

当然，这不是说我们生活在一个完全虚拟的世界中。换言之，即便我们本身是“现实”的，我们所处的世界也是“现实”的，但是，如果我们感官和现实世界之间永远横亘着一层“表象”，那么，我们要怎么样才能寻找到世界的真相？

更令人不安的在于，我们几乎无法证明自己是否被“表象”紧密包围，因为所有的实验手段获得的结果都可能只是来自“表象”的“虚假反馈”。

如果科学大厦的根基存在根本性的问题，那么，无数人梦寐以求的“大统一理论”诞生的前景就变得岌岌可危。因为，我们所看到的，也许只是世界想要我们看到的，在我们可能永远无法看到的那部分世界里，还隐藏着多少精彩绝伦的光芒？

声明：本文只是一个没有绝对依据的思想实验，不构成任何建议，请继续相信，并热爱生活。

荒原之梦
2025 年 10 月 19 日

一、前言

根据矩阵的性质，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，那么，就会存在下面这样的秩相等的链式关系式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，让同学们可以通过图形的方式，更加形象的对上面的公式有一个深入的理解。

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求解逆矩阵的三种方法

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^{2} – 3 \boldsymbol{A} + 2 \boldsymbol{E}$, 则 $\boldsymbol{B}^{-1} = \underline{\quad \quad \quad}$

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峰说 | 我为什么要做荒原之梦考研数学？

考研的时候，我也曾经到处查找资料，但是资料查多了就会发现，很多资料都是类似的，都是概念、定理和习题的罗列——很严谨，很正式，大部分时候也很有用，但仍然解决不了我的一些困惑。

因为，无论文科还是理科，人们对很多知识的理解都是要经历一个先“感性”，再“理性”的过程，没有感性的积累，直接接触干巴巴的理性，就会遇到比较大的阻碍。

所以，我更想看到的考研辅导资料，特别是考研数学的辅导资料，是形象的、接地气的、能用几句话和几幅图片说明白的——但是，这样的资料很少。

于是，在考完研之后，我就开始着手做这样一份资料。当然，由于能力所限，我只做考研数学方面的学习资料：

荒原之梦 – 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

我的目标很明确，就是专注于考研数学实战，并且不拘泥于传统思维，让同学们在学习的过程中可以轻松一点，掌握知识的速度可以更快一点，在一板一眼的教材之外，打造一个更加惬意，更加轻松的考研数学备考氛围。

人生，不可以没有梦想。考上研，就是我们追求的一个又一个梦想中的其中一个，就是这一个个的梦想，或大或小，构成了我们的过去，也映射成了今天的我们——希望这个叫做“荒原之梦”的地方，可以帮助同学们一步步实现自己的梦想，一步步迈向更加广阔的舞台——

筑梦为峰，凯歌以行。

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号

一、前言

通过《求解分块矩阵的伴随矩阵》这篇文章，我们学会了如何快速求解分块矩阵的伴随矩阵，即：

$$
\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & – \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{bmatrix}
$$

又根据《一阶矩阵的伴随矩阵是多少？》这篇文章可知，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是一阶矩阵的话，则：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{B}^{*} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
$$

于是，对于一个形如 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 的二阶矩阵，其伴随矩阵的计算公式为：

$$
\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix}
|b| \cdot 1 & -1 \cdot 1 \\
0 & a \cdot 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b & -1 \\
0 & a
\end{bmatrix}
$$

但是，直接使用针对分块矩阵的伴随矩阵计算公式，只能计算类似 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 这样的二阶矩阵的伴随矩阵，接下来，我们就来看看如何快速计算任意一个二阶矩阵的伴随矩阵.

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