在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：
$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$
在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。
但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。
接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。
继续阅读“对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则””
Note
换句话说，所谓“对等原则”要解决的问题就是：对等式两边取对数，是对整体“取”，还是各项“取”？
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每个人都不是一个独立的个体，我们需要与人交流，需要与人合作，需要有人陪伴和陪伴他人，但是，人生的路始终都是自己的路，没有人可以替代我们去走自己人生的路，过去和未来的每一个脚印，都是我们自己迈出的。
2024 年 08 月 22 日
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描述：瑞士阿尔卑斯山布来特峰上的龙胆花。
作者：Dirk Beyer
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 06 月 11 日 10 时 16 分
相机坐标：
来源：wikipedia.org
计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$ 和 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}$:
$$
\begin{aligned}
⟬A⟭. \quad z(x, y) = \ & x ^{2} + y^{2} – 3 x^{4} y^{4} \\ \\
⟬B⟭. \quad z(x, y) = \ & \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称”
我们不知道前路有什么，但我们知道“莫愁前路无知己”，我们不知道何时会“功成名就”，但我们不能因此而迟疑，更不能因此而放弃。
2024 年 08 月 21 日
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描述：奥地利维也纳美泉宫花园中的罗马式观景亭。
作者：David Monniaux
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 04 月 27 日 09 时 05 分
相机坐标：东经 16° 18′ 31.8″, 北纬 48° 10′ 45.7″
来源：wikipedia.org
已知：
$$
y = \log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)
$$
则：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = ?
$$
Tip
$y$ $=$ $\log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1-x}}$
zhaokaifeng.com
难度评级：
继续阅读“对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数”
无论贫穷或富有，无论顺境或逆境，我们都是“天生我材”。既然我们有幸来到世间，无论能成就多大的事业，首先一点就是，作为一个守法律和讲道德的人，我们就没必要妄自菲薄，我们都是值得别人尊重，也值得自己尊重的人。
2024 年 08 月 20 日
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描述：哈勃空间望远镜拍摄的猎户座大星云。
作者：NASA, ESA, M. Robberto (Space Telescope Science Institute/ESA) and the Hubble Space Telescope Orion Treasury Project Team
授权协议：NASA & Space Telescope Science Institute images are public domain; this image also involved ESA, but it can be found at ESA’s Hubble site, which states that “The Hubble material you see on these pages is copyright-free”.
拍摄时间（当地时间）：2006 年 01 月 11 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “$ax$ $+$ $b$” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。
继续阅读“考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分”
不断的告别的确会让人心生悲伤，但也许只有告别了的，才值得怀念。
2024 年 08 月 19 日
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描述：图为哈勃望远镜微弱物体相机拍摄到的类星体的“爱因斯坦十字（Einstein Cross）”。
该类星体距离地球约 80 亿光年。该现象由中心星系的引力形成的引力透镜产生，这个引力透镜距离地球约 4 亿光年。
作者：NASA, ESA, STScI
图片来源：aHR0cHM6Ly9zY2llbmNlLm5hc2EuZ292L2ltYWdlLWRldGFpbC9odWJibGUtZzIyMzcwMzA1LXN0c2NpLTAxZXZ0YmJ3Y2Y3cTlwemtla3cyNWRkYzN4Lw==
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{ -f(t) } \mathrm{~d} t$, 则当 $n$ $\geqslant$ $2$ 时：
$$
f^{(n)}(0) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求导去积分符号，积分去求导符号”
对恒星来说，一个人的一生不过转瞬即逝；对宇宙来说，巨大的星系也就是一个闪烁着微弱荧光的点——在宇宙的视野中，我们是如此渺小，然而，我们能认识到自己的渺小，能观测到自己的渺小，而这又何尝不是一种伟大？
2024 年 08 月 18 日
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描述：图中是巨大的仙女座星系，也可以称之为梅西耶 31（M31）星系。这张图片的数据由美国国家航空航天局的广域红外巡天探测器（WISE）捕获，该探测器使用其 4 个红外传感器捕获了这张照片的原式数据：3.4 微米和 4.6 微米的光线在这张照片中被渲染为蓝色，代表成熟的恒星；12 微米的光线被渲染成绿色、22 微米的光线被渲染成红色——黄色（黄绿色）和红色部分表示存在被巨大的新生恒星加热的宇宙尘埃。
作者：NASA/JPL-Caltech/UCLA
图片来源：aHR0cHM6Ly9zY2llbmNlLm5hc2EuZ292L2ltYWdlLWRldGFpbC93aXNlLWluZnJhcmVkLXZpZXctb2YtYW5kcm9tZWRhLWdhbGF4eS1hbmQtY29tcGFuaW9ucy0zLw==
泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。
继续阅读“考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总”
人的优越，不是来自贬低别人，而是来自提升自己；人的威猛，不是来自藐视别人，而是来自怜悯众生。
2024 年 08 月 17 日
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描述：丹麦奥尔堡动物园的东北虎。
作者：Malene Thyssen
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2004 年 03 月 21 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org
已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足：
[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$
[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$
[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$
[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$
难度评级：
继续阅读“非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解”
月有阴晴圆缺，人也有悲欢离合，不可能事事如意，但也不必为过去懊悔，对未来担忧。过好每一天，做好当下事，过去的就随风而逝，未来的就静待明天。
2024 年 08 月 16 日
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描述：在比利时阿莫瓦市拍摄到的月球表面。
作者：Luc Viatour
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 10 月 07 日 22 时 51 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org
