作者： 荒原之梦

题目

设函数 $z = f(xy, yg(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$. 求 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y}|_{x=1,y=1}$.

继续阅读“2011年考研数二第17题解析：复合函数求偏导、一阶导与极值点的性质”

题目

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程：

$$
\left\{\begin{matrix}
x = \frac{1}{3}t^{3} + t + \frac{1}{3},\\
y = \frac{1}{3}t^{3} – t + \frac{1}{3}
\end{matrix}\right.
$$

确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹、凸区间及拐点。

继续阅读“2011年考研数二第16题解析：参数方程的求导、极值点、拐点、凹凸区间”

题目

已知函数

$$
F(x) = \frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}.
$$

设 $\lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} F(x) = 0$, 试求 $a$ 的取值范围.

继续阅读“2011年考研数二第15题解析：无穷小与无穷大及各自的层级比较、洛必达法则”

题目

设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$, 圆 $x^{2} + y^{2} = 2y$ 及 $y$ 轴所围成，则二重积分 $\iint xy d \sigma = ?$

继续阅读“2011年考研数二真题第13题解析：二重积分的计算，三种解法”

题目

设函数

$$
f(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda e^{-\lambda x}, x > 0,\\0, x \leqslant 0.
\end{matrix}\right. (\lambda > 0)
$$

则 $\int_{- \infty}^{+\infty} xf(x) dx = ?$

继续阅读“2011年考研数二第12题解析”

题目

微分方程 $y^{‘} + y = e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0) = 0$ 的解为 $y = ?$

继续阅读“2011年考研数二第10题解析”