2015年考研数二第17题解析:利用二元函数的偏导数求极值、不定积分

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足:

$$
f_{xy}^{”}(x,y) = 2(y+1)e^{x},
$$

$$
f_{x}^{‘}(x,0) = (x+1)e^{x},
$$

$$
f(0,y) = y^{2} + 2y.
$$

求 $f(x,y)$ 的极值.

解析

由题可知:

$$
f_{x}^{‘} (x,y) =
$$

$$
\int f_{xy}^{”}(x,y) dy =
$$

$$
\int 2(y+1)e^{x} dy =
$$

$$
2 e^{x} \int (y+1) dy =
$$

$$
2 e^{x} [\int y dy+ \int 1 dy] =
$$

$$
e^{x} (y^{2} + 2y) + \phi (x).
$$

注:

[1]. 对 $\int (y+1) dy$ 采取不同的计算方式会得到看上去不同的计算结果,但这并不影响我们对本题的计算,具体分析可以参考:《$y+1$ 或 $x+1$ 的积分怎么算?》;

[2]. 在对变量 $y$ 计算积分的时候,只包含变量 $x$ 的函数 $\phi(x)$ 应被视为常数。

将 $y=0$ 代入 $f_{x}^{‘} (x,y)$, 得:

$$
f_{x}^{‘} (x,0) = \phi(x).
$$

又由 $f_{x}^{‘}(x,0) =$ $(x+1)e^{x}$ 可知:

$$
\phi(x) = (x+1)e^{x}.
$$

于是:

$$
f_{x}^{‘} (x,y) =
$$

$$
e^{x} (y^{2} + 2y) + (x+1)e^{x}.
$$

接着:

$$
f(x,y) =
$$

$$
\int f_{x}^{‘}(x,y) dx =
$$

$$
(y^{2} + 2y) \int e^{x} dx + \int (x+1)e^{x} dx =
$$

$$
(y^{2} + 2y) e^{x} + xe^{x}.
$$

注:

[1]. 在本题中,不能通过对 $f_{x}^{‘}(x,0)$ 中的变量 $x$ 求积分的方式求解 $f(x,y)$, 因为:

$\int f_{x}^{‘}(x,0) dx = f(x,0)$;

$\int f_{x}^{‘}(x,0) dx \neq f(x,y)$.

同时,$f(x,y) \neq$ $f(x,0) + f(0,y)$, 因为,当 $y=0$ 或 $x=0$ 时,同时包含变量 $y$ 和 $x$ 的式子就会变成 $0$, 从而无法在函数 $f(x,0)$ 或 $f(0,y)$ 中体现出来,根据题目所给线索,我们并不能排除这种情况的存在。

于是,有:

$$
f_{x}^{‘} (x,y) =
$$

$$
e^{x} (y^{2} + 2y) + (x+1)e^{x}.
$$

$$
f_{y}^{‘}(x,y) =
$$

$$
e^{x} (2y+2).
$$

令 $f_{y}^{”}(x,y) = 0$, 可得:

$$
y_{o}=-1.
$$

令 $f_{x}^{‘} (x,y) = 0$ 且 $y_{o}=-1$, 可得:

$$
x_{o} = 0.
$$

又:

$$
A =
$$

$$
f_{xx}^{”}(x,y) =
$$

$$
(y^{2} + 2y)e^{x} + e^{x} + (x+1)e^{x}.
$$

$$
B =
$$

$$
f_{xy}^{”}(x,y) =
$$

$$
2(y+1)e^{x}.
$$

$$
C =
$$

$$
f_{yy}^{”}(x,y) =
$$

$$
2e^{x}.
$$

将 $(0,-1)$ 代入到上面的 $A$, $B$, $C$ 三个式子中,可得:

$$
A = 1; B = 0; C = 2.
$$

于是:

$$
AC-B^{2} = 2 > 0.
$$

即函数 $f(x,y)$ 的极值是存在的。

又由 $A > 0$ 可知,函数 $f(x,y)$ 有极小值,且极小值为:

$$
f(0,1) = -1.
$$