2015年考研数二第17题解析：利用二元函数的偏导数求极值、不定积分

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足：

$$f_{xy}^{”}(x,y)=2(y+1)e^x,$$

$$f_x^{‘}(x,0)=(x+1)e^x,$$

$$f(0,y)=y^2+2y.$$

求 $f(x,y)$ 的极值.

解析

由题可知：

$$f_x^{‘}(x,y)=$$

$$\int f_{xy}^{”}(x,y)dy=$$

$$\int 2(y+1)e^{x}dy=$$

$$2e^x\int (y+1)dy=$$

$$2e^x[\int ydy+\int 1dy]=$$

$$e^x(y^2+2y)+\varphi (x).$$

注：

[1]. 对 $\int (y+1)dy$ 采取不同的计算方式会得到看上去不同的计算结果，但这并不影响我们对本题的计算，具体分析可以参考：《$y+1$ 或 $x+1$ 的积分怎么算？》；

[2]. 在对变量 $y$ 计算积分的时候，只包含变量 $x$ 的函数 $\varphi (x)$ 应被视为常数。

将 $y=0$ 代入 $f_x^{‘}(x,y)$, 得：

$$f_x^{‘}(x,0)=\varphi (x).$$

又由 $f_x^{‘}(x,0)=$ $(x+1)e^x$ 可知：

$$\varphi (x)=(x+1)e^x.$$

于是：

$$f_x^{‘}(x,y)=$$

$$e^x(y^2+2y)+(x+1)e^x.$$

接着：

$$f(x,y)=$$

$$\int f_x^{‘}(x,y)dx=$$

$$(y^2+2y)\int e^{x}dx+\int (x+1)e^{x}dx=$$

$$(y^2+2y)e^x+x{e}^x.$$

注：

[1]. 在本题中，不能通过对 $f_x^{‘}(x,0)$ 中的变量 $x$ 求积分的方式求解 $f(x,y)$, 因为：

$\int f_x^{‘}(x,0)dx=f(x,0)$;

$\int f_x^{‘}(x,0)dx\ne f(x,y)$.

同时，$f(x,y)\ne$ $f(x,0)+f(0,y)$, 因为，当 $y=0$ 或 $x=0$ 时，同时包含变量 $y$ 和 $x$ 的式子就会变成 $0$, 从而无法在函数 $f(x,0)$ 或 $f(0,y)$ 中体现出来，根据题目所给线索，我们并不能排除这种情况的存在。

于是，有：

$$f_x^{‘}(x,y)=$$

$$e^x(y^2+2y)+(x+1)e^x.$$

$$f_y^{‘}(x,y)=$$

$$e^x(2y+2).$$

令 $f_y^{”}(x,y)=0$, 可得：

$$y_o=-1.$$

令 $f_x^{‘}(x,y)=0$ 且 $y_o=-1$, 可得：

$$x_o=0.$$

又：

$$A=$$

$$f_{xx}^{”}(x,y)=$$

$$(y^2+2y)e^x+e^x+(x+1)e^x.$$

$$B=$$

$$f_{xy}^{”}(x,y)=$$

$$2(y+1)e^x.$$

$$C=$$

$$f_{yy}^{”}(x,y)=$$

$$2e^x.$$

将 $(0,-1)$ 代入到上面的 $A$, $B$, $C$ 三个式子中，可得：

$$A=1;B=0;C=2.$$

于是：

$$AC-B^2=2>0.$$

即函数 $f(x,y)$ 的极值是存在的。

又由 $A>0$ 可知，函数 $f(x,y)$ 有极小值，且极小值为：

$$f(0,1)=-1.$$