一、题目
曲线 $x=\cos ^{3} t$, $y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少？
难度评级：
继续阅读“寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）”求解参数方程任意一点处的曲率
一、题目
已知 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)
\\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=?$, $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=?$, $y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=?$
难度评级：
继续阅读“求解参数方程任意一点处的曲率”这道题用麦克劳林公式（泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况）可以很快求解
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“这道题用麦克劳林公式（泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况）可以很快求解”若实对称矩阵有相同的正负惯性指数，则一定合同
一、题目
下面的矩阵中与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪一个？
(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & -1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$
难度评级：
继续阅读“若实对称矩阵有相同的正负惯性指数，则一定合同”正定矩阵典型例题来啦
一、题目
下列矩阵中, 正定矩阵是哪一个？
(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\ -3 & 5 & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & 7\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}5 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & -1\end{array}\right]$
难度评级：
继续阅读“正定矩阵典型例题来啦”怎么判断一个矩阵是否是正定矩阵？
这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了
一、题目
下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是哪一个矩阵：
(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 5\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & -1\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ -3 & 0 & 3\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
难度评级：
继续阅读“这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了”什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值？
一、前言 
你知道在哪些形式的矩阵中，矩阵对角线上的元素就是该矩阵的特征值吗？
难度评级：
！注意： 实对称矩阵主对角线上的元素不一定是特征值。
继续阅读“什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值？”什么样的矩阵一定可以相似对角化？
相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $3$ 维线性无关的列向量，且有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=3 \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$, 又知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}3 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 可以是：
(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2},-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right]$.
难度评级：
继续阅读“相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成”这道题千万不能先求解特征值再求解特征向量：直接用排除法即可
一、题目
以下向量不可能是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right]$ 的特征向量的是哪一个？
(A) $(-1,1,0)^{\mathrm{\top}}$.
(B) $(1,-2,3)^{\mathrm{\top}}$.
(C) $(1,2,-1)^{\mathrm{\top}}$.
(D) $(3,-3,0)^{\mathrm{\top}}$.
难度评级：
继续阅读“这道题千万不能先求解特征值再求解特征向量：直接用排除法即可”齐次线性方程组是否有非零解与系数矩阵的列向量是否相关有关
对矩阵的运算会同步反映到矩阵的特征值上
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶可逆矩阵，$\boldsymbol{\lambda}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则 $\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{E}$ 必有特征值（）
难度评级：
继续阅读“对矩阵的运算会同步反映到矩阵的特征值上”线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量
一、题目
要使 $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可 以是下列哪一个？
(A) $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right]$.
(B) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
(C) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -6 & 3 & 3\end{array}\right]$.
(D) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
难度评级：
继续阅读“线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量”自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的
一、题目
已知，齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵化为阶梯形是 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则方程组自由变量不能取成下列的哪一项？
(A) $x_{2}, x_{3}$.
(B) $x_{2}, x_{5}$.
(C) $x_{1}, x_{4}$.
(D) $x_{1}, x_{2}$.
难度评级：
继续阅读“自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的”