正定矩阵典型例题来啦

一、题目

下列矩阵中, 正定矩阵是哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\ -3 & 5 & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & 7\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}5 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & -1\end{array}\right]$

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二、解析

如果对正定矩阵的判断方法不是很清楚，可以先查阅一下《怎么判断一个矩阵是否是正定矩阵》这篇文章。

由于正定矩阵主对角线上的元素一定是大于零的，不能小于零或者等于零，因此，排除 $(A)$ 和 $(D)$ 两个选项。

接着，由于 $(B)$ 选项中存在二阶顺序主子式 $\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{vmatrix} = 0$, 于是可知，$(B)$ 选项对应的矩阵不是正定矩阵。

综上可知，正确的选项是 $(C)$.

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