题目
设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值；
$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由题知：
$$
f^{‘}(x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}.
$$
于是，令 $f^{‘}(x)=0$, 得：
$$
\frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow
$$
注：
[1]. 由题知，函数 $f(x)$ 中自变量 $x$ 的取值范围是 $(0, + \infty)$, 即 $\frac{1}{x}>0$.
$$
1 = \frac{1}{x} \Rightarrow
$$
$$
x=1.
$$
于是可知，$x=1$ 是 $f(x)$ 在其定义域 $(0,+\infty)$ 上的极值点。
又：
$$
f^{”}(x) = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}.
$$
将 $x = 1$ 代入 $f^{”}(x)$, 得：
$$
f^{”}(1) = 1 > 0.
$$
于是可知，$f(x)$ 在 $x=1$ 附近是一个凹函数，因此，$x=1$ 是 $f(x)$ 的最小值点，最小值为 $f(1) = 1$.
第 $(Ⅱ)$ 问
由第 $(Ⅰ)$ 问可知：
$$
\ln x + \frac{1}{x} \geqslant 1.
$$
即：
$$
\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n}} \geqslant 1.
$$
又由第 $(Ⅱ)$ 问知，数列 ${x_{n}}$ 满足：
$$
\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1.
$$
于是可知：
$$
\frac{1}{x_{n}} > \frac{1}{x_{n+1}} \Rightarrow
$$
$$
x_{n} < x_{n+1}.
$$
即数列 ${x_{n}}$ 是一个单调递增的数列。
又由 $x_{n}>0$ 可知，$\frac{1}{x_{n}}>0$, 进而可知：
$$
\frac{1}{x_{n+1}} > 0.
$$
于是，由 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$ 知：
$$
\ln x_{n} < 1 \Rightarrow
$$
$$
\log_{e}^{x_{n}} < 1 \Rightarrow
$$
$$
x_{n} < e.
$$
综上，数列 ${x_{n}}$ 单调递增且有上界，于是，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。
注：
[1]. $e$ 只是数列 ${x_{n}}$ 的上界，即说明 $\lim_{x \rightarrow \infty}x_{n} < e$, 但不一定有 $\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n}=e$.
令：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = A.
$$
则由 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n}} \geqslant 1$ 可得：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} (\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n}}) \geqslant 1 \Rightarrow
$$
$$
\ln A + \frac{1}{A} \geqslant 1.
$$
又由 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$ 可得：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} (\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}) < 1 \Rightarrow
$$
$$
\ln A + \frac{1}{A} < 1.
$$
于是：
$$
\ln A + \frac{1}{A} = 1 \Rightarrow
$$
$$
A = 1.
$$
即，$\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = 1.
$$