2013年考研数二第19题解析:拉格朗日乘数法求条件极值、求曲线上的最值

题目

求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

解析

设题中曲线上的点的坐标为 $(x,y)$, 则,该点到坐标原点 $(0,0)$ 的距离为:

$$
d = \sqrt{(x-0)^{2} + (y-0)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
d = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
$$

于是,题意就是让我们求 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 在 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ 这个条件下的最大值和最小值。

不过,为了后面的计算更加方便,我们可以将本题化简一下,即改为:求 $x^{2} + y^{2}$ 在 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ 这个条件下的最大值和最小值,之后再将得到的结果代入 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 中计算即可。由于 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 与 $x^{2} + y^{2}$ 的增减性一致,因此可知,这种简化方法是可行的。

首先,利用拉格朗日乘数法求出条件极值(用该法求出的极值可能是极大值,也可能是极小值,后面还需要验证。

令:

$$
F(x,y,\lambda) =
$$

$$
x^{2} + y^{2} + \lambda(x^{3} – xy + y^{3} -1).
$$

于是,有:

$$
\left\{\begin{matrix}
F_{x}^{‘}=2x + \lambda(3x^{2} – y);\\
F_{y}^{‘}=2y+\lambda(3y^{2} – x);\\
F_{\lambda}^{‘}=x^{3} – xy + y^{3} – 1.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$

令:

$$
\left\{\begin{matrix}
F_{x}^{‘}=2x + \lambda(3x^{2} – y)=0;\\
F_{y}^{‘}=2y+\lambda(3y^{2} – x)=0;\\
F_{\lambda}^{‘}=x^{3} – xy + y^{3} – 1=0.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
2x + 3 \lambda x^{2} – \lambda y=0; ①\\
2y+3 \lambda y^{2} – \lambda x=0; ②\\
x^{3} – xy + y^{3} – 1=0. ③
\end{matrix}\right.
$$

观察可知,对于上面的方程组,当我们把 $x$ 换成 $y$, 再把 $y$ 换成 $x$, 即可将 $①$ 式变成 $②$ 式,同理也可以将 $②$ 式变成 $①$ 式,于是可知:

$$
x=y; y=x.
$$

接着,将 $y=x$ 代入 $③$ 式可得:

$$
x^{3} – x^{2} + x^{3} – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
2x^{3} – x^{2} -1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
2x^{3} – x^{2} =1 \Rightarrow
$$

$$
x^{2} (2x – 1) = 0 \Rightarrow
$$

$$
x=1.
$$

即,有:

$$
x = y = 1.
$$

于是,有极值为:

$$
d = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}.
$$

又由题知,$x^{3}-xy+y^{3}=1$ 是一个“曲线”,曲线都是不闭合的,因此,该曲线必有两个端点,一个端点位于 $x$ 取最小值的位置(即 $x=0$),另一个端点位于 $y$ 取最小值的位置(即 $y=0$)。

将 $x=0$ 代入 $x^{3}-xy+y^{3}=1$, 得:

$$
y=1.
$$

将 $y=0$ 代入 $x^{3}-xy+y^{3}=1$, 得:

$$
x=1.
$$

于是,曲线上这两个端点的坐标分别为:

$$
(0,1); (1,0).
$$

将这两个端点坐标分别代入 $d = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 可知,他们到原点的距离都是 $1$.

由于 $1<\sqrt{2}$, 于是可知:

曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离为 $\sqrt{{2}}$, 最短距离为 $1$.


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