2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限

题目

$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根;

$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,并求此极限。

解析

第 $(Ⅰ)$ 问

由 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x = 1$, 可令:

$$
f(x) = x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x – 1.
$$

其中,当我们把 “$x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x$” 这部分写成 “$x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n}$” 的形式后可以看出,这部分就是一个以 “$x$” 为公比,”$x$” 为首项的等比数列。

于是,当 $x = \frac{1}{2}$ 时:

$$
x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n} =
$$

$$
\frac{\frac{1}{2} [1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}} = 1 – \frac{1}{2^{n}}.
$$

当 $x = 1$ 时:

$$
x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n} =
$$

$$
1+1+ \cdot \cdot \cdot + 1 = n.
$$

于是:

$$
f(\frac{1}{2}) = 1- \frac{1}{2^{n}} – 1 = – \frac{1}{2^{n}};
$$

$$
f(1) = n-1.
$$

由 $n>1$ 且为整数时,可知:

$$
\left\{\begin{matrix}
f(\frac{1}{2}) = – \frac{1}{2^{n}} < 0;\\ f(1) = n-1 > 0.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$

即:

$$
f(\frac{1}{2}) \cdot f(1) < 0.
$$

由函数的零点定理可知,至少存在一个 $x_{n} \in (\frac{1}{2}, 1)$, 使得 $f(x_{n})=0$ 成立。

又由 $f(x) = x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{3} + x^{2} + x – 1$ 知:

$$
f(x) = x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{[n-(n-3)]} + x^{[n-(n-2)]} + x^{[n-(n-1)]} + 1.
$$

于是:

$$
f^{‘}(x) =
$$

$$
nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + \cdot \cdot \cdot + [n-(n-3)]x^{(3-1)} +
$$

$$
[n-(n-2)]x^{(2-1))} + [n-(n-1)-1]x^{(1-1)}. ①
$$

又由题知,当 $x \in (\frac{1}{2}, 1)$ 时:

$$
x > 0;
$$

$$
n>0;
$$

$$
n-1>0;
$$

$$
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
$$

$$
[n-(n-3)] = 3 > 0;
$$

$$
[n-(n-2)] = 2 > 0;
$$

$$
[n-(n-1)] = 1 > 0.
$$

于是,可知,当 $x \in (\frac{1}{2}, 1)$ 时:

$$
f^{‘}(x) > 0.
$$

注:

[1]. 其实 $①$ 式可以简写为 $f^{‘}(x) = nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + \cdot \cdot \cdot + 2x + 1$ 这样的形式,写成入如上述 $①$ 式这样的形式只是为了方便讨论 $f^{‘}(x)$ 的正负性。

于是可知,$f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 单调递增。

综合以上结论可知,函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个零点,故方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根。

第 $(Ⅱ)$ 问

若记第 $(Ⅰ)$ 问中的实根为 $x_{n}$, 则由第 $(Ⅰ)$ 问,可知:

$$
x_{n} \in (\frac{1}{2}, 1).
$$

即,数列 ${x_{n}}$, $(n=1,2,3…)$ 是一个有界数列。

把 $x_{n}$ 代入到题目所给的方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ 中,得:

$$
x_{n}^{n} + x_{n}^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} – 1 = 0. ②
$$

若将 $n$ 看成 $n+1$, 则有:

$$
x_{n+1}^{n+1} + x_{n+1}^{n} + x_{n+1}^{n-1} \cdot \cdot \cdot + x_{n+1} – 1 = 0. ③
$$

由于 $x>0$ 且 $n>0$, 于是,可知:

$$
x_{n+1}^{n+1} > 0.
$$

于是,由 $③$ 式,可得:

$$
x_{n+1}^{n} + x_{n+1}^{n-1} \cdot \cdot \cdot + x_{n+1} – 1 < 0. ④
$$

接着,对比 $②$ 式和 $④$ 式,可知:

$$
x_{n+1}^{n} < x_{n}^{n} \Rightarrow
$$

$$
x_{n+1} < x_{n}.
$$

同理,我们可证:

$$
x_{n+2}<x_{n+1};
$$

$$
x_{n+3}<x_{n+2}
$$

$$
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
$$

于是,由数学归纳法可知,数列 ${x_{n}}$ 是一个单调递减的数列。

又由前述得结论可知,数列 ${x_{n}}$ 还是一个上下均有界的数列,因此,数列 ${x_{n}}$ 是一个收敛数列,我们可将其极限设为:

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = A.
$$

由于在 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ 中,等号左边的部分其实是一个等比数列,即:

$$
x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1 \Rightarrow
$$

$$
x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{x_{n}[1-(x_{n})^{n}]}{1-x_{n}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{A(1-A^{n})}{1-A} = 1.
$$

又由于 $\frac{1}{2}<x_{n}<1$, 即 $\frac{1}{2}<A<1$, 于是,当 $n \rightarrow \infty$ 时,$A^{n} \rightarrow 0$, 即:

$$
\frac{A(1-A^{n})}{1-A} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{A(1-0)}{1-A} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{A}{1-A} = 1 \Rightarrow
$$

$$
A = \frac{1}{2}.
$$

即:

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \frac{1}{2}.
$$