[高数]什么时候无穷大减无穷大等于零

前言

要知道什么时候无穷大减无穷大等于零,也就是什么时候 $\infty – \infty = 0$ 就要知道什么是等价无穷大、高阶无穷大和低阶无穷大。

其实,通过类比等价无穷小,只要知道了什么是等价无穷大,就可以理解什么是等价无穷大、高阶无穷大和低阶无穷大了。关于等价无穷大,可以参考下面这篇文章:

[高数]等价无穷大

正文

等价无穷大的应用示例:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} [ \frac{b}{1 + e^{-b}} – \ln (1 + e^{b}) ] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} [ \frac{b e^{b}}{1 + e^{b}} – \ln (1 + e^{b}) ] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} [ \frac{b e^{b}}{e^{b}} – \ln (e^{b}) ] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} [b – b] = 0.
$$

事实上,虽然我们说 $\infty – \infty$ 是一个未定式,但是,如果有具体的计算环境,我们可以确定 $\infty – \infty$ 的结果:

  • 无穷大 $A$ – $A$ 的【等价】无穷大 = $0$;
  • 无穷大 $A$ – $A$ 的【同阶不等价】无穷大 = $\infty$;
  • 无穷大 $A$ – $A$ 的【高阶】无穷大 = $\infty$;
  • 无穷大 $A$ – $A$ 的【低阶】无穷大 = $\infty$;
  • 无穷大 $A$ + 常数 $k$ – $A$ 的【等价】无穷大 = $k$.