[线代](非齐/齐)次线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系

前言

根据题目可以知道,本文【主要】分析的是“【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”。

在这里,我首先给出我的分析结果:他们之间【没有关系】。

即:【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间没有确切的关系。如果要确定一个非齐次线性方程组究竟有多少线性无关的特解,则【可能】需要对非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的结构有更深入的研究,但这不在本文的分析范围之内。

本文将通过一个具体的例子验证我的上述判断并由此延伸,给出一个关于“【齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”——同样地,他们之间也是【没有关系】。

正文

最近做了一道题,题中给出了一个包含三个未知数的三行非齐次线性方程组的两个特解(题中没有说该非齐次线性方程组只有这两个特解)。经过我的验算,这两个特解还是线性无关的,因此,我就据此判断,这个非齐次线性方程组包含两个自由变量,于是有:

$$
r(A) = r(\bar{A}) = 3 – 2 = 1.
$$

但是,上面的分析是错误的。

在学习线性代数的过程时,我们在解线性方程组的过程中,通常都会被教导这样做:

如果是求齐次线性方程的通解的基础解系,那么,如果有一个自由变量,就把该自由变量赋值为 $1$, 不能赋值为 $0$, 因为 $0$ 或者说零向量和任何数或者向量都是线性相关的。也不要赋值为其他不等于 $1$ 的非零常数,因为这样会使计算变得更复杂。同理,如果有两个自由变量,那么就赋值为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$, 不能赋值为 $(0,0)$, 以此类推。

如果是求非齐次线性方程组的特解,由于要组合成通解的话,有一个特解即可,为了计算方便,如果有一个自由变量,那么就把该自由变量赋值为 $0$, 如果有两个自由变量,那么就变这两个自由变量赋值为 $(0,0)$, 以此类推。

Tips:
如果非齐次线性方程只有一个解而不是无数个解,那么就不会存在自由变量,也就不存在给自由变量赋值的操作。

如果对上面的操作过程掌握的不是很熟悉,就可能会产生和我类似的误解:认为求非齐次线性方程特解时对自由变量的赋值也要遵循和求齐次线性方程基础解系时一样的使用互相线性无关的数值去赋值,而且认为,自由变量的个数决定着齐次线性方程组基础解系中解的个数或者非齐次线性方程组中特解的个数。

其实,根据我目前的分析,上面的这段【误解】真的是一个【误解】。下面这个例子可以在一定程度上说明这个问题。

设存在方程组:

$$
\left\{\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2;\\
x_{1} – x_{3} = 0.
\end{matrix}\right.
$$

则其增广矩阵为:

$$
\begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & p \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & -1 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow 初等【行】变换 \Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & p \\
1 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 2
\end{bmatrix}
$$

于是可知,$x_{3}$ 为自由变量。

如果我们先令 $x_{3} = 0$, 再令 $x_{3} = 1$, 由于 $0$ 和 $1$ 线性无关,那么得到的两个特解一定是线性无关的。

当 $x_{3} = 0$ 时,特解为:

$$
(0,2,0)
$$

当 $x_{3} = 1$ 时,特解为:

$$
(1,0,1)
$$

上面这两个特解确实是线性无关的。

那么,如果我们令 $x_{3} = 2$, 由于 $2$ 和 $1$ 是线性相关的,那么,求出来的特解是不是就是线性相关的呢?

当 $x_{3} = 2$ 时,特解为:

$$
(2,0,2)
$$

$(2,0,2)$ 和 $(1,0,1)$ 确实线性相关。但是,这个规律是不是普遍的呢,如果我们令 $x_{3} = -1$, 那么得到的特解是不是和 $x_{3} = 2$ 或者 $x_{3} = 1$ 时得到的特解也线性相关呢?

当 $x_{3} = -1$ 时,特解为:

$$
(-1,4,-1)
$$

很显然,$(-1,4,-1)$ 无论是和 $(1,0,1)$ 还是 $(2,0,2)$ 都是线性无关的。但是 $-1$ 和 $2$ 以及 $1$ 都是线性相关的。

也就是说,将线性无关的数值赋值给自由变量确实可以得到线性无关的解,但是,将线性相关的数值赋值给自由变量同样【可能会】得到线性无关的解。

于是,在求非齐次线性方程组的特解时,当有一个自由变量时,我们不能因为只有 $0$ 和 $1$ 是线性无关的数,就认为因此能得到且只能得到自由变量分别为 $0$ 和 $1$ 的两个线性无关的特解,同样也不能反过来,因为知道一个非齐次线性方程组有两个线性无关的特解就说这个非齐次线性方程组有一个或者某个具体个数的自由变量。因为线性无关的特解的个数不是自由变量的个数所能单独决定的,还和整个方程组的结构有关。

推广之,我们可以知道,虽然在求齐次方程组的基础解系时,如果有一个自由变量,我们会赋值为 $1$, 如果有两个自由变量,我们会赋值为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$. 但是,这样做的目的是为了在计算简便的同时又能绝对保证求出来的解向量都是线性无关的而且又能覆盖所有可能的基础解系中的解向量。但是,我们要知道,即使我们给自由变量赋的值是线性相关的,也【有可能】得到线性无关的解向量。

由于基础解系是一个齐次线性方程组的所有可能的解的一个极大线性无关组,所以,如果我们知道了一个齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数之后,是可以判断出来这个齐次线性方程组的自由未知数的个数。但是,如果只知道一个齐次线性方程组其中几个特解,即使这几个特解是线性无关的,我们也不能仅据此就得出该齐次线性方程组有几个自由未知数的结论。

总之,由一个线性方程组的自由未知数的个数【推不出】这个线性方程组有多少个线性无关的特解。反过来,由目前所知的一个线性方程组线性无关的特解的个数也【推不出】该线性方程组自由未知数的个数。