题目
设函数 $f(x)=\int_{-1}^{x} \sqrt{1-e^{t}} dt$, 则 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=0$ 处的导数 $\frac{dx}{dy}|_{y=0} = ?$
解析
高数中的反函数与高中数学中的反函数不同的一点就是，高数中的反函数只是 $x$ 与 $y$ 的“角色”发生了改变：
原函数中的自变量 $x$ 变成了反函数中的因变量 $x$;
原函数中的因变量 $y$ 变成了反函数中的自变量 $y$.
但是，“角色”发生改变后，并不要求 $x$ 与 $y$ 对换位置。
因此，反函数的导函数 $\frac{dx}{dy}$ 就是原函数的导函数 $\frac{dy}{dx}$ 的倒数。
于是，有：
$$
\frac{dy}{dx} =
$$
$$
f^{‘}(x) =
$$
$$
\sqrt{1-e^{x}} \Rightarrow
$$
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{1-e^{x}}}.
$$
又，当 $y=0$ 时，有：
$$
\int_{-1}^{x} \sqrt{1-e^{t}} dt = 0 \Rightarrow
$$
$$
x = -1.
$$
于是：
$$
\frac{dx}{dy} =
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{1-e^{-1}}}.
$$
注意：虽然我们还可以对上述结果继续做一些变形，使得写出来的答案更加简洁好看一些，但是，这里还是不要继续变形为好。首先，如果前面的计算无误的话，改卷时的标准答案中一定有上面这个结果，但却不一定有我们变形化简出来的结果，因为，不同的化简方法得到的结果可能不同；另外，每多做一步计算就多了一些计算错误的风险，增加了产生错误的风险又浪费了时间，这不是应试考试中该有的行为。
综上可知，正确答案为 $\frac{1}{\sqrt{1-e^{-1}}}$.
EOF