题目
设 $A$, $B$, $C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $AB=C$, 且 $B$ 可逆， 则 $?$
$$
A. 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
$$
$$
B. 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
$$
$$
C. 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
$$
$$
D. 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
$$
解析
解法一
考研试卷中的题目，要么是对课本公式和性质的利用，要么就是对课本公式或性质的的延伸。
本题就属于对课本公式或性质的延伸。题中问到了“等价”，那么，很显然，本题一定和课本中的“等价”有联系。
课本上关于矩阵 $A$ 等价于矩阵 $B$ 的定义是：
存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 和 $n$ 阶矩阵 $Q$ 使得 $m \times n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 有如下关系：
$$
PAQ=B.
$$
则称 $A$ 与 $B$ 等价。
观察上述定义并结合矩阵乘法中的【左行右列】定律，可以猜测，矩阵 $A$ 左边的矩阵 $P$ 是使 $A$ 的【行】等价于矩阵 $B$ 的【行】, 矩阵 $A$ 右边的矩阵 $Q$ 是使 $A$ 的【列】等价于矩阵 $B$ 的【列】。
于是，我们可以【猜测】，在 $AB=C$ 中，可逆矩阵 $B$ 只能使 $A$ 的【列】与矩阵 $C$ 的【列】等价，故 $B$ 项正确。
方法二
方法一只是一种【猜测】，要想获知确切的答案，还是需要严密的推理才行。
为了书写方便，我下面以 $2$ 阶矩阵为例进行推导，分析可知，下面的过程可以推广到 $n$ 阶矩阵中并仍然成立。
设 $a_{1}$, $a_{2}$ 为二阶矩阵 $A$ 的两个列向量，$c_{1}$, $c_{2}$ 为二阶矩阵 $C$ 的两个列向量，另外，$B=\begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12}\
b_{21} & b_{22}
\end{vmatrix}$.
则：
$$
AB=C \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
a_{1} b_{11} + a_{2} b_{21} = c_{1}; ①
$$
$$
a_{1} b_{12} + a_{2} b_{22} = c_{2}. ②
$$
我们知道，在【线性】代数中，矩阵的【初等变换】就是依靠不同的【系数】，也就是【实数】形成的【线性计算】。
因此，上面的 $①$, $②$ 两式的含义就是，列向量 $a_{1}$ 和列向量 $a_{2}$ 能够通过一定的【线性计算】，也就是【初等变换】变成列向量 $c_{1}$ 和列向量 $c_{2}$.
于是，有：
$$
a_{1} 和 a_{2} 等价于 c_{1};
$$
$$
a_{1} 和 a_{2} 等价于 c_{2}.
$$
又因为矩阵 $B$ 是可逆的，于是，有：
$$
ABB^{-1} = CB^{-1} \Rightarrow
$$
$$
CB^{-1} = A.
$$
进而，同理可得：
$$
c_{1} 和 c_{2} 等价于 a_{1};
$$
$$
c_{1} 和 c_{2} 等价于 a_{2}.
$$
于是：
$$
a_{1}, a_{2} 和 c_{1}, c_{2} 相互等价。
$$
综上可知，正确选项为 $B$.
EOF