题目
曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r = \theta$, 则 $L$ 在点 $(r, \theta) = (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 处切线的直角坐标系方程为 $?$
解析
极坐标系转直角坐标系的转换公式如下：
$$
x = r \cos \theta;
$$
$$
y = r \sin \theta.
$$
于是，极坐标方程 $r = \theta$ 可以转化成直角坐标系下的参数方程：
$$
\left\{\begin{matrix}
x = r \cos \theta, \\
y = r \sin \theta
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
一般地，参数方程中只能有一个参数，因此，还需要继续替换
$$
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
x = \theta \cos \theta,\\
y = \theta \sin \theta.
\end{matrix}\right.
$$
经过上面的转换，我们就得到了一个直角坐标系下的参数方程，随后的计算就是对该参数方程求导。
又：
$$
\frac{dy}{d \theta} =
$$
$$
\sin \theta + \theta \cos \theta.
$$
$$
\frac{dx}{d \theta} =
$$
$$
\cos \theta – \theta \sin \theta.
$$
于是：
$$
\frac{dy}{dx} =
$$
$$
\frac{\sin \theta + \theta \cos \theta}{\cos \theta – \theta \sin \theta}.
$$
当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时：
$$
\frac{dy}{dx} =
$$
$$
\frac{1 + \frac{\pi}{2} \cdot 0}{0 – \frac{\pi}{2} \cdot 1} =
$$
$$
-\frac{2}{\pi}.
$$
又，极坐标系下的点 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 对应的直角坐标系下的同一个点是：
$$
(0, \frac{\pi}{2}).
$$
于是，题目中要求的切线方程为：
$$
y – \frac{\pi}{2} = – \frac{2}{\pi} (x – 0) \Rightarrow
$$
$$
y = – \frac{2}{\pi} x + \frac{\pi}{2}.
$$
综上可知，正确答案为 $y = – \frac{2}{\pi} x + \frac{\pi}{2}$.
EOF