2014年考研数二第12题解析

题目

曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r = \theta$, 则 $L$ 在点 $(r, \theta) = (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 处切线的直角坐标系方程为 $?$

解析

极坐标系转直角坐标系的转换公式如下:

$$
x = r \cos \theta;
$$

$$
y = r \sin \theta.
$$

于是,极坐标方程 $r = \theta$ 可以转化成直角坐标系下的参数方程:

$$
\left\{\begin{matrix}
x = r \cos \theta, \\
y = r \sin \theta
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$

一般地,参数方程中只能有一个参数,因此,还需要继续替换

$$
\Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
x = \theta \cos \theta,\\
y = \theta \sin \theta.
\end{matrix}\right.
$$

经过上面的转换,我们就得到了一个直角坐标系下的参数方程,随后的计算就是对该参数方程求导。

又:

$$
\frac{dy}{d \theta} =
$$

$$
\sin \theta + \theta \cos \theta.
$$

$$
\frac{dx}{d \theta} =
$$

$$
\cos \theta – \theta \sin \theta.
$$

于是:

$$
\frac{dy}{dx} =
$$

$$
\frac{\sin \theta + \theta \cos \theta}{\cos \theta – \theta \sin \theta}.
$$

当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时:

$$
\frac{dy}{dx} =
$$

$$
\frac{1 + \frac{\pi}{2} \cdot 0}{0 – \frac{\pi}{2} \cdot 1} =
$$

$$
-\frac{2}{\pi}.
$$

又,极坐标系下的点 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 对应的直角坐标系下的同一个点是:

$$
(0, \frac{\pi}{2}).
$$

于是,题目中要求的切线方程为:

$$
y – \frac{\pi}{2} = – \frac{2}{\pi} (x – 0) \Rightarrow
$$

$$
y = – \frac{2}{\pi} x + \frac{\pi}{2}.
$$

综上可知,正确答案为 $y = – \frac{2}{\pi} x + \frac{\pi}{2}$.

EOF