2015年考研数二第12题解析

题目

若函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{”} + y^{‘} – 2y = 0$ 的解,且在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 $3$, 则 $y(x)=?$

解析

本题考察二阶常系数线性齐次微分方程。

由题知,该微分方程的特征方程为:

$$
\lambda^{2} + \lambda – 2 = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda+2) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1} = 1;
$$

$$
\lambda_{2} = -2.
$$

于是,该微分方程的通解为:

$$
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-2x}.
$$

由题又知,$x = 0$ 时,$y=3$, $y^{‘}=0$, 于是有:

$$
C_{1} + C_{2} = 3; ①
$$

$$
C_{1} + C_{2}(-2) = 0. ②
$$

联立 $①$, $②$ 两式得:

$$
C_{1} = 2;
$$

$$
C_{2} = 1.
$$

于是:

$$
y(x) = 2 e^{x} + e^{-2x}.
$$

综上可知,正确答案为 $2 e^{x} + e^{-2x}$.

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