2016年考研数二第10题解析

题目

极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$ $($ $\sin \frac{1}{n}$ $+$ $2 \sin \frac{2}{n}$ $+…+$ $n \sin \frac{n}{n}$ $)$ $=?$

解析

虽然,当 $K$ 为常数,$n \rightarrow \infty$ 时,有 $\frac{K}{n} = 0$, 此时,可以使用等价无穷小,从而有:

$$
\sin \frac{K}{n} \sim \frac{K}{n}.
$$

但很显然,题中对应于 $K$ 的位置是趋于无穷的,从某一个位置之后,$K$ 就不是一个有限的数了。因此,这里不能使用等价无穷小替换解题。

在涉及趋于无穷大的条件下式子的求值问题中,我们可以尝试用定积分的定义来解题,过程如下:

$$
原式 =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \frac{1}{n} (\sin \frac{1}{n} + 2 \sin \frac{2}{n} +..+ n \sin \frac{n}{n}) =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin \frac{2}{n} +..+ \frac{n}{n} \sin \frac{n}{n}) =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin \frac{i}{n} =
$$

注意:上式中的 $\frac{1}{n}$ 代表着于把 $[0,1]$ 区间分成了 $n$ 份。

$$
\int_{0}^{1} x \sin x dx =
$$

$$
(-1) \int_{0}^{1} x d(\cos x) =
$$

$$
(-1)[x \cos x |{0}^{1} – \int{0}^{1} \cos x dx] =
$$

$$
(-1)[\cos 1 – \sin 1] =
$$

$$
\sin 1 – \cos 1.
$$

综上可知,正确答案为 $\sin 1 – \cos 1$.

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