2016年考研数二第01题解析

题目

设 $\alpha_{1} = x(\cos \sqrt{x}-1)$, $\alpha_{2} = \sqrt{x}\ln(1+\sqrt[3]{x})$, $\alpha_{3} = \sqrt[3]{x+1}-1$.

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时,以上 $3$ 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 $?$

$$A. \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$$

$$B. \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1}$$

$$C. \alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}$$

$$D. \alpha_{3}, \alpha_{2}, \alpha_{1}$$

解析

一个重要的等价无穷小公式:

$$
(1+x)^{a} = ax.
$$

由于,当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时,有:

$$
\alpha_{1} \sim (-1) \frac{1}{2}x^{2}.
$$

$$
\alpha_{2} \sim \sqrt{x} \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{6}}.
$$

注意:$\sqrt{x} \sqrt[3]{x} \neq \sqrt[4]{x}$.

$$
\alpha_{3} \sim (1+x)^{\frac{1}{3}} – 1 \sim \frac{1}{3}x.
$$

注意,只有当 $x \rightarrow \infty$ 时,才可以忽略常数,即 $\lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt[3]{1+x} – 1) = \lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt[3]{1+x})$, $\lim_{x \rightarrow 0} (\sqrt[3]{1+x} – 1) \neq \lim_{x \rightarrow 0} (\sqrt[3]{1+x})$. 这一点看似很简单,但是实际计算时易弄错——时刻记住当前 $x$ 的趋向是什么。

综上可知,正确选项为 $B$.

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作者: zhaokaifeng.com

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