2017年考研数二第14题解析

题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
4& 1& -2\\
1& 2& a\\
3& 1& -1
\end{bmatrix}$ 的一个特征向量为 $\begin{bmatrix}
1\\
1\\
2
\end{bmatrix}$, 则 $a=?$

解析

要求出 $a$ 肯定要列一个方程,也就是找一个等式。这个等式不仅要包括矩阵 $A$, 还要包括题中给出的特征向量,于是,我们可以想到下面这两个等式:

$$
|\lambda E – A|x = 0;
$$

$$
A \alpha = \lambda \alpha.
$$

但是,进一步一想就会发现,由于题中没有给出特征向量对应的特征值 $\lambda$, 因此,无论使用上面哪个式子,【似乎】都会产生两个未知数 $\lambda$ 和 $a$. 这样还是无法解出 $a$.

至此,【如果】上面两个式子都没法用,这道题又没了突破口。

其实,上面的顾虑不是必须的。对于一个可能的解题方法,我们一定要动手算一算,不能随便就觉得一个方法不可行。而且,就算一个方法真的不可行,这一个方法的思路或者结论,也有可能为其他方法提供帮助。所以,一定要写出来,算一算。

方法一:

由 $A \alpha = \lambda \alpha$ 知:

$$
\begin{bmatrix}
4& 1& -2\\
1& 2& a\\
3& 1& -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda \\
\lambda \\
2 \lambda
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 \\
3+2a \\
2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda \\
\lambda \\
2 \lambda
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
\lambda =1 \Rightarrow
$$

$$
3+2a=1 \Rightarrow
$$

$$
a=-1.
$$

方法二:

由 $(\lambda E-A)x = 0$, 又:

$$
\begin{vmatrix}
\lambda& 0& 0\\
0& \lambda& 0\\
0& 0& \lambda
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
4& 1& -2\\
1& 2& a\\
3& 1& -1
\end{vmatrix}
=
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-4 & -1& 2\\
-1& \lambda-2& -a\\
-3& -1& \lambda+1
\end{vmatrix}.
$$

于是有:

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-4 & -1& 2\\
-1& \lambda-2& -a\\
-3& -1& \lambda+1
\end{vmatrix}
=
0
\Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 1, \lambda – 2a -3, 2 \lambda -2) =
$$

$$
(0,0,0)
\Rightarrow
$$

$$
\lambda -1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda = 1.
$$

于是:

$$
1-2a-3=0 \Rightarrow
$$

$$
-2a=2 \Rightarrow
$$

$$
a=-1.
$$

注意:加减计算一定要仔细,$10$ 以内得加减法十分重要。

综上可知,正确答案为 $-1$.

EOF

作者: zhaokaifeng.com

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