2017年考研数二第12题解析

题目

设函数 $f(x,y)$ 具有一阶连续偏导数,且 $df(x,y) =ye^{y}dx + x(1+y)e^{y}dy$, $f(0,0)=0$, 则 $f(x,y)=?$

解析

由 $df(x,y) =ye^{y}dx + x(1+y)e^{y}dy$ 知:

$$
\frac{df(x,y)}{dx} =
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial x} =
$$

$$
ye^{y}.
$$

于是,$f(x,y)$ 可以设为:

$$
f = x \cdot ye^{y} + \varphi (y) ①
$$

注意:$①$ 式中 $”+”$ 号后面用的是 $\varphi (y)$ 而不是常数 $C$, 因为,$①$ 式是对 $x$ 求偏导,此时,$y$ 的函数 $\varphi (y)$ 被视为常数 (包含 $y$ 的式子是 $y$ 的函数,只有常数也可以视为 $y$ 的函数),但是,在对 $y$ 求偏导的时候,$\varphi (y)$ 不一定真的是一个常数,因此,这里不能直接用常数 $C$.

又:

$$
\frac{df(x,y)}{dy} =
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y} =
$$

$$
x(1+y)e^{y}.
$$

即:

$$
f_{y}^{‘} = x(1+y)e^{y}.
$$

于是有:

$$
[xye^{y} + \varphi (y)]_{y}^{‘} = x(1+y)e^{y}.
$$

又:

$$
[xye^{y} + \varphi (y)]_{y}^{‘} =
$$

$$
x(e^{y} + ye^{y}) + \varphi^{‘}(y).
$$

于是:

$$
x(e^{y} + ye^{y}) + \varphi^{‘}(y) = x(1+y)e^{y}.
$$

即:

$$
\varphi^{‘}(y) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\varphi (y) = C, 其中 C 为常数.
$$

于是:

$$
f = x \cdot ye^{y} + C
$$

又:

$$
f(0,0)=0.
$$

所以:

$$
0+C=0 \Rightarrow
$$

$$
C=0.
$$

于是:

$$
f = x \cdot ye^{y}.
$$

即:

$$
f(x,y) = x \cdot ye^{y}.
$$

其实本题也可以从 $f_{y}^{‘} = x(1+y)e^{y}$ 来反推原函数 $f=xye^{y}$. 但是,这个过程比较困难,不容易看出来。由于无论是从对 $x$ 的偏导反推原函数,还是从 $y$ 的偏导反推原函数,推出来的都是同一个原函数,这个时候就可以较用好推(一般也较简单)的那个式子来推原函数。

综上可知,正确答案为 $x \cdot ye^{y}$.

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作者: zhaokaifeng.com

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