2018年考研数二第14题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵,$a_{1},a_{2},a_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, $A \alpha_{2} = \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$, $A \alpha_{3} = – \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$

解析

首先,“实特征值”就是为“实数”(不是虚数)的特征值。

由分块矩阵的性质可知:

关于分块矩阵的性质,可以参考这篇文章:《[线代]分块矩阵的运算

$$
A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) = (A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}).
$$

于是:

$$
A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) =
$$

$$
(2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{2}+2\alpha_{3},- \alpha_{2}+\alpha_{3}) =
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

即:

$$
A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) =
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

设:

$$
P = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3});
$$

$$
Q =
\begin{bmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{bmatrix}.
$$

则有:

$$
AP=PQ.
$$

又由题知,$P$ 可逆,所以:

$$
P^{-1} A P = P^{-1} P Q \Rightarrow
$$

$$
P^{-1} A P = Q.
$$

即 $A$ 与 $Q$ 相似。

又因为,相似的矩阵有相同的特征值,所以,求 $A$ 的实特征值就是求 $Q$ 的实特征值。

$Q$ 的特征方程为:

$$
|\lambda E – Q| = 0.
$$

即:

$$
\begin{vmatrix}
\lambda& 0& 0\\
0& \lambda& 0\\
0& 0& \lambda
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{vmatrix}
=0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-2& 0& 0\\
-1& \lambda-1& 1\\
-1& -2& \lambda-1
\end{vmatrix}
=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda -2)(\lambda -1)^{2} + 2(\lambda – 2) = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 2)[(\lambda – 1)^{2} + 2] = 0. ①
$$

又因为,在实数范围内,一定有:

$$
(\lambda – 1)^{2} + 2 > 0.
$$

于是,在实数范围内,只有 $\lambda = 2$ 能使 $①$ 式成立。

综上可知,正确答案为 $2$.

EOF

作者: zhaokaifeng.com

荒原之梦网站02号编辑。