2018年考研数二第02题解析

题目

下列函数中,在 $x = 0$ 处不可导的是 $?$.

$$A. f(x) = |x| \sin |x|$$

$$B. f(x) = |x| \sin \sqrt{|x|}$$

$$C. f(x) = \cos |x|$$

$$D. f(x) = \cos \sqrt{|x|}$$

解析

关于函数在一点处是否可导,有以下几个定理:

  • 可导的充要条件

函数在一点处可导的充要条件是该点处的左右导数均存在且相等。

  • 可导的必要条件

函数在一点处可导的必要条件是函数在该点处连续。即“可导必连续,连续不一定可导。”

一点处的左右导数均存在且相等可以保证该点处的函数是连续的,但是一点处的函数是连续的,并不能保证该点处的左右导数均存在且相等。

  • 判断一点处是否可导的两个特殊方法
  1. 函数没有定义的点处一定不可导

函数本身在该点处就不存在,那么其导函数自然也不会在该点处存在。

  1. 尖点处一定不可导。

尖点可以理解成“不光滑”的点,由于尖点不光滑,所以尖点两侧的导函数值通常变化较大 (即导函数值不相等), 因此,函数在尖点处不可导。

但是,使用尖点判断是否可导要特别注意尖点是否一定存在。例如,本题中的 $A$ 选项,由于绝对值符号的作用 $y(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sin |x|$ 在 $x=0$ 处都存在一个尖点,但是它们的乘积做成的新函数 $r(x)=|x| \sin |x|$ 在 $x=0$ 处是否存在尖点就不一定了,因此,对于 $A$ 选项不能直接用尖点判断其在 $x=0$ 处是否可导。

对于本题而言,可以通过计算各个选项中的函数在 $x=0$ 的左右两侧的导函数值是否存在且相等来判断。

因为不知道选项中的函数在 $x=0$ 这一点的导函数值是否存在,无法套用导数的计算公式,因此,此处计算导数的时候一般通过下面的导数定义公式完成:

$$
f^{‘}(x_{0}) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}.
$$

$A$ 项:

已知 $f(x) = |x| \sin |x|$, 则:

$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x \sin (-x) – 0}{x} \Rightarrow
$$

又 $\sin (-x) \sim (-x)$, 所以:

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x^{2}}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} x = 0.
$$

$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin x – 0}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x = 0.
$$

由于 $0=0$, 所以 $f(x) = |x| \sin |x|$ 在 $x=0$ 处可导。

$B$ 项:

已知 $f(x) = |x| \sin \sqrt{|x|}$, 则:

$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x \sin \sqrt{-x} – 0}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} – \sin \sqrt{-x} = 0.
$$

$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin \sqrt{x} – 0}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sin \sqrt{x} = 0.
$$

由于 $0=0$, 所以 $f(x) = |x| \sin \sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处可导。

$C$ 项:

已知 $f(x) = \cos |x|$, 则:

$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos (-x) – 1}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\frac{1}{2}(-x)^{2}}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} -\frac{1}{2}x = 0.
$$

$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos x – 1}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} – \frac{1}{2} x = 0.
$$

由于 $0=0$, 所以 $f(x) = \cos |x|$ 在 $x=0$ 处可导。

$D$ 项:

已知 $f(x) = \cos \sqrt{|x|}$, 则:

$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos \sqrt{-x} – 1}{x} \Rightarrow
$$

又:

$$
1 – \cos t \sim \frac{1}{2} t^{2}.
$$

所以有:

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\frac{1}{2}(-x)}{x} = \frac{1}{2}
$$

$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \sqrt{x} – 1}{x – 0} = \frac{-\frac{1}{2}x}{x}=-\frac{1}{2}.
$$

由于 $\frac{1}{2} \neq – \frac{1}{2}$, 所以,$f(x) = \cos \sqrt{|x|}$ 在 $x = 0$ 处不可导。

综上可知,正确选项为 $D$.

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作者: zhaokaifeng.com

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