扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中，我们主要讨论了当 $x\to +\mathrm{\infty }$, 且 $x^n$ 中的 $n$ 为正整数的时候，极限式子“取大头去小头”的定理，在本文中，我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展，助力同学们提升解题速度。

二、正文

极限“抓大去小”的扩展定理

1. 当 $x\to +\mathrm{\infty }$, $x^n$ 中的 $n$ 为正整数的时候，保留 $|n|$ 大的项，去掉 $|n|$ 小的项；
2. 当 $x\to +\mathrm{\infty }$, $x^n$ 中的 $n$ 为负整数的时候，保留 $|n|$ 小的项，去掉 $|n|$ 大的项。

需要注意的是，当 $n$ 为负整数的时候，在式子中一般会表现为带有根号的根式。

例题

题干

难度评级：

解法一：直接抓大去小

根据“抓大去小”的定理，当 $◻\to +\mathrm{\infty }$ 时：

$$◻⩽\sqrt{◻}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}I=& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{3x+1}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\cancel{\sqrt{x}}}}}{\sqrt{3x+1}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{3x+1}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x+\cancel{\sqrt{x}}}}{\sqrt{3x+1}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x+\cancel{1}}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{x}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \\ =& \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}\end{array}$$

解法二：转换出无穷小量

$$\begin{array}{rl}I=& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{3x+1}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{x}}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{\frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}}{\sqrt{\frac{3x+1}{x}}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}}{\sqrt{3+\frac{1}{x}}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{x^2}}}}{\sqrt{3+\frac{1}{x}}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{x}{x^4}}}}}{\sqrt{3+\frac{1}{x}}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^3}}}}}{\sqrt{3+\frac{1}{x}}}\\ \\ =& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\sqrt{0+\sqrt{0}}}}{\sqrt{3+0}}\\ \\ =& \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\\ \\ =& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \\ =& \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}\end{array}$$

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