扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中，我们主要讨论了当 $x \rightarrow +\infty$, 且 $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候，极限式子“取大头去小头”的定理，在本文中，我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展，助力同学们提升解题速度。

二、正文

极限“抓大去小”的扩展定理

1. 当 $x \rightarrow + \infty$, $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候，保留 $|n|$ 大的项，去掉 $|n|$ 小的项；
2. 当 $x \rightarrow + \infty$, $x^{n}$ 中的 $n$ 为负整数的时候，保留 $|n|$ 小的项，去掉 $|n|$ 大的项。

需要注意的是，当 $n$ 为负整数的时候，在式子中一般会表现为带有根号的根式。

例题

题干

难度评级：

解法一：直接抓大去小

根据“抓大去小”的定理，当 $\square \rightarrow + \infty$ 时：

$$
\textcolor{yellow}{
\square \leqslant \sqrt{\square}
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I = \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt {x + \sqrt { x + \sqrt { x }}}}{\sqrt{3x+ 1}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt {x + \sqrt { x + \textcolor{orangered}{ \cancel{ \textcolor{white}{\sqrt{x}} } } }}}{\sqrt{3x+ 1}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt {x + \sqrt { x }}}{\sqrt{3x+ 1}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt {x + \textcolor{orangered}{\cancel{ \textcolor{white}{\sqrt{x}} }} } }{\sqrt{3x+ 1}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt {x} }{\sqrt{3x+ \textcolor{orangered}{ \cancel{\textcolor{white}{1}} } }} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt {x} }{\sqrt{ 3x }} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt {x} }{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{x}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{3}} \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{\sqrt{3}}{3} }}
\end{aligned}
$$

解法二：转换出无穷小量

$$
\begin{aligned}
I = \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt{x + \sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{3 x + 1}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\frac{ \sqrt{x + \sqrt{x+\sqrt{x}}}}{ \textcolor{orangered}{\sqrt{x}} }}{ \frac{\sqrt{3 x + 1}}{ \textcolor{orangered}{\sqrt{x}} } } \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \textcolor{orangered}{ \sqrt{ \textcolor{white}{ \frac{ x + \sqrt{x+\sqrt{x}}}{ \textcolor{orangered}{x} } } } } }{ \textcolor{orangered}{ \sqrt{ \textcolor{white}{ \frac{3x + 1}{ \textcolor{orangered}{x} } } } } } \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \textcolor{magenta}{\sqrt{ \textcolor{white}{ 1 + \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{ \textcolor{magenta}{x} }} }} }{\sqrt{3+\frac{1}{x}} } \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt{1 + \textcolor{magenta}{ \sqrt{ \textcolor{white}{ \frac{x+\sqrt{x}}{ \textcolor{magenta}{x^{2}} } }} } }}{\sqrt{3 + \frac{1}{x}} } \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt{1 + \sqrt{ \frac{1}{x} + \textcolor{magenta}{ \sqrt{ \textcolor{white}{ \frac{x}{ \textcolor{magenta}{x^{4}} }} } }} }}{\sqrt{3 + \frac{1}{x}} } \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt{1+\sqrt{ \textcolor{orange}{ \frac{1}{x} } + \sqrt{\textcolor{orange}{ \frac{1}{x^3}}}}}}{\sqrt{3 + \textcolor{orange}{\frac{1}{x}}} } \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt{1+\sqrt{\textcolor{orange}{0} + \sqrt{\textcolor{orange}{0}}}}}{\sqrt{3 + \textcolor{orange}{0} } } \\ \\
= \ & \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} \\ \\
= \ & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{\sqrt{3}}{3} }}
\end{aligned}
$$

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